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~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2009, 09:54 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: P04. Los vértices de un triángulo son A(2,-1), B(-5,1) y C(0,3). Calcular su área.$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

TamaruKaT Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 5 2009, 10:17 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 287 Registrado: 4-June 07 Miembro Nº: 6.414 Nacionalidad: Sexo:	AC y BC son perpendiculares $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \overline {AC} ^2 = 2^2 + 4^2 \hfill \\<br /> \overline {AC} = \sqrt {20} \hfill \\<br /> \overline {AC} = 4\sqrt 5 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \overline {BC} ^2 = 2^2 + 5^2 \hfill \\<br /> \overline {BC} = \sqrt {29} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{{4\sqrt 5 \bullet \sqrt {29} }}<br />{2} = area \hfill \\<br /> 2\sqrt {145} = area \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Mensaje modificado por tamara.9115 el Oct 5 2009, 10:18 PM --------------------

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 6 2009, 06:18 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(tamara.9115 @ Oct 5 2009, 11:17 PM) AC y BC son perpendiculares Por que lo son? -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

EnemyOfGod286 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 15 2010, 02:37 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 858 Registrado: 20-August 09 Desde: In my House Miembro Nº: 57.323 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sacamos las distancias de cada lado. $TEX: AB=(-5,1)-(2,-1)$ $TEX: AB=(-7,2)$ $TEX: $$\|AB\|=\sqrt{(-7)^{2}+2^{2}}$$$ $TEX: $$\|AB\|=\sqrt{49+4}$$$ $TEX: $$\|AB\|=\sqrt{53}$$$ $TEX: AC=(0,3)-(2,-1)$ $TEX: AC=(-2,4)$ $TEX: $$\|AC\|=\sqrt{(-2)^{2}+4^{2}}$$$ $TEX: $$\|AC\|=\sqrt{4+16}$$$ $TEX: $$\|AC\|=\sqrt{20}$$$ $TEX: $$\|AC\|=2\sqrt{5}$$$ $TEX: BC=(0,3)-(-5,1)$ $TEX: BC=(5,2)$ $TEX: $$\|BC\|=\sqrt{5^{2}+2^{2}}$$$ $TEX: $$\|BC\|=\sqrt{25+4}$$$ $TEX: $$\|BC\|=\sqrt{29}$$$ Sea $TEX: s$ el semiperimetro de nuestro triangulo, por lo que $TEX: $$s=\dfrac{\sqrt{53}+\sqrt{20}+\sqrt{29}}{2}$$$ Entonces el area del triangulo es: $TEX: $$A=\sqrt{\dfrac{\sqrt{53}+\sqrt{20}+\sqrt{29}}{2}(\dfrac{\sqrt{53}+\sqrt{20}+\sqrt{29}}{2}-\sqrt{53})(\dfrac{\sqrt{53}+\sqrt{20}+\sqrt{29}}{2}-\sqrt{20})(\dfrac{\sqrt{53}+\sqrt{20}+\sqrt{29}}{2}-\sqrt{29})}$$$ $TEX: $$A=\sqrt{\dfrac{\sqrt{53}+\sqrt{20}+\sqrt{29}}{2}(\dfrac{\sqrt{20}-\sqrt{53}+\sqrt{29}}{2})(\dfrac{\sqrt{53}-\sqrt{20}+\sqrt{29}}{2})(\dfrac{\sqrt{53}+\sqrt{20}-\sqrt{29}}{2})}$$$ $TEX: $$A=\sqrt{\dfrac{\sqrt{53}+\sqrt{20}+\sqrt{29}}{2}(\dfrac{11\sqrt{29}+31\sqrt{5}-\sqrt{53}-\sqrt{7685}}{2})}$$$ $TEX: $$A=\sqrt{144}$$$ Por lo que el area es $TEX: 12$

OckUC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 15 2010, 03:21 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 288 Registrado: 25-August 09 Desde: Por ahí Miembro Nº: 57.644 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $$\text{Sean los vectores:}$$$ $TEX: $$\overrightarrow{A}=(2,-1,0)$$$ $TEX: $$\overrightarrow{B}=(-5,1,0)$$$ $TEX: $$\overrightarrow{C}=(0,3,0)$$$ $TEX: $$\text{Ahora sean:}$$$ $TEX: $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=(-7,2,0)$$$ $TEX: $$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}=(-2,4,0)$$$ $TEX: $$\text{Haciendo producto cruz: }\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=\left\| \begin{matrix}<br /> \widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k} \\<br /> -7 & 2 & 0 \\<br /> -2 & 4 & 0 \\<br />\end{matrix} \right\|=(0,0,-24)$$$ $TEX: $$\text{Calculando mitad de la norma: }\frac{\left\\| \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v} \right\\|}{2}=\frac{24}{2}=12$$$ $TEX: $$\text{Por lo tanto}\text{, el area es 12}$$$ Mensaje modificado por OckUC el Feb 15 2010, 03:25 PM -------------------- RECURSIÓN: Si no lo entiende, vea RECURSIÓN $TEX: Conjunto $R$:$ $TEX: <br />$$R=\{X:X\notin X\}$$<br />$ $TEX: <br />$$R\in R\Leftrightarrow R\notin R$$<br />$

sebasm Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 15 2010, 04:46 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 354 Registrado: 31-May 08 Desde: Santiago-Chile Miembro Nº: 25.353 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Sean los verices A(2,-1) B(-5,1) C(0,3) entonces su area es:<br /><br /><br />$\dfrac{1}{2}\det \left( \begin{matrix}<br /> 2 & -1 & 1 \\<br /> -5 & 1 & 1 \\<br /> 0 & 3 & 1 \\<br />\end{matrix} \right)=\dfrac{1}{2}\left[ \left( 2(1)(1)+(-1 \right)(1)0+1(-5)(3))-(2(1)(3)+(-1)(-5)(1)+1(1)(0) \right]$<br /><br /><br />$\dfrac{1}{2}\left[ 2+0-15-(6+5+0) \right]=\dfrac{1}{2}\left[ -13-11 \right]=\dfrac{-24}{2}=-12$<br /><br /><br />pero donde es un area y su valor es positivo, entonces es 12.$

sebasm Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 15 2010, 04:54 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 354 Registrado: 31-May 08 Desde: Santiago-Chile Miembro Nº: 25.353 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Leonardo mauricio:es una paja... pero es lo mas seguro =D porque?? XD

EnemyOfGod286 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 15 2010, 04:59 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 858 Registrado: 20-August 09 Desde: In my House Miembro Nº: 57.323 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	es la primera vez que uso Heron xD

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 15 2010, 05:20 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Respuestas correctas las entregadas por OckUC y sebasm. Respecto al desarrollo de Enemy of God, el procedimiento algebraico fue brutal xD. La respuesta es correcta, pero tu desarrollo es una prueba de paciencia en el calculo. Personalmente no revise todo tu desarrollo y menos realize las multiplicaciones. Debo añadir que hay (al menos) dos formas mas de abordar este problema. A continuacion dare una pequeña indicacion que les puede ser util para llegar a otra solucion Indicacion: Considere el rectangulo $TEX: $AXYZ$$ donde $TEX: $X(2,3)$$ , $TEX: $Y(-5,3)$$ , $TEX: $Z(-5,-1)$$ y relacionelo con el problema. Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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