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mensaje Sep 13 2009, 09:20 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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TEX: 23. Una caja de forma de paralelepípedo rectangular, tiene el largo igual al doble del ancho y la suma de las tres dimensiones es igual a 14. Calcular la altura para que la superficie total tenga área máxima.

Mensaje modificado por Hamon el Sep 13 2009, 09:31 PM


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OckUC
mensaje Feb 4 2010, 11:07 PM
Publicado: #2


Dios Matemático
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TEX: Sea x la altura, entonces definimos una función tal que a partir de x se calcule el área del paralelepípedo:

TEX: $$x+2a+a=14\Rightarrow x+3a=14\Rightarrow a=\frac{14-x}{3}$$

TEX: $$A\left( x \right)=2\left( 2ax+ax+2a^{2} \right)\Rightarrow 2\left( 2x\left( \frac{14-x}{3} \right)+x\left( \frac{14-x}{3} \right)+2\left( \frac{14-x}{3} \right)^{2} \right)$$

TEX: $$A\left( x \right)=2\left( 3x\left( \frac{14-x}{3} \right)+2\left( \frac{196-28x+x^{2}}{9} \right) \right)$$

TEX: $$A\left( x \right)=6x\left( \frac{14-x}{3} \right)+4\left( \frac{196-28x+x^{2}}{9} \right)$$

TEX: $$A\left( x \right)=6x\left( \frac{42-3x}{9} \right)+4\left( \frac{196-28x+x^{2}}{9} \right)$$

TEX: $$A\left( x \right)=\frac{6x\left( 42-3x \right)+4\left( 196-28x+x^{2} \right)}{9}=\frac{252x-18x^{2}+784-112x+4x^{2}}{9}$$

TEX: $$A\left( x \right)=\frac{-14x^{2}+140x+784}{9}$$

TEX: Tenemos que la función es una parábola con las ramas hacia abajo, pues el coeficiente de x cuadrado es menor que 0. Luego la función tiene un máximo y la calculamos.

TEX: $$V\left( \frac{-b}{2a},A\left( \frac{-b}{2a} \right) \right)\Rightarrow \frac{-b}{2a}=\frac{\frac{-140}{9}}{\frac{-28}{9}}=5$$

TEX: $$A\left( 5 \right)=\frac{-14\left( 5 \right)^{2}+140\left( 5 \right)+784}{9}=\frac{-350+700+784}{9}=\frac{1134}{9}=126$$

TEX: Luego, la altura debe ser 5, para que el área se maximize con $Area=126$


--------------------
RECURSIÓN: Si no lo entiende, vea RECURSIÓN

TEX: Conjunto $R$:

TEX: <br />$$R=\{X:X\notin X\}$$<br />

TEX: <br />$$R\in R\Leftrightarrow R\notin R$$<br />
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mensaje Feb 4 2010, 11:30 PM
Publicado: #3


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