Control 1: Calculo Avanzado y Aplicaciones 2009/2

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Control 1: Calculo Avanzado y Aplicaciones 2009/2, Calculo Vectorial

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Rattlehead_ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 12 2009, 09:55 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 428 Registrado: 19-July 07 Desde: Ñuñoa Miembro Nº: 7.679 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CONTROL 1: MA2002 Calculo Avanzado y Aplicaciones $TEX: <br />\noindent \fbox{Problema 1.} \\<br /><br />\indent (a) (1 pto) Para el campo \\<br />$$ \vec{F}(\vec{r})= (2\theta+\sqrt{2+p^2}) \hat{\rho} +\dfrac{1}{\rho} e^{\theta^2}\hat{\theta}+(\theta^2+\log(1+z^2))\hat{z}$$ \\<br /><br />expresado en coordenadas cilindricas, calcule $rot \vec{F}$. \\<br />\indent (b) (1 pto) Bosqueje la superficie $S$ de ecuacion $z^2+y^2=1$, $0 \leq z \leq x$ , $y \geq 0$. \\<br /><br />\indent © (4 ptos) Calcule:\\<br />$$ \oint_ {\partial S} \vec{F} \cdot d \vec{r}$$ \\<br /><br />donde $\vec{F}$ es el campo en la parte a) y $S$ es la superficie de la parte b) ( $\partial S$ esta orientada de $(1,0,0)$, a $(0,1,0)$ a $(1,0,1)$. \\<br /><br />\noindent \fbox{Problema 2.}\\<br /><br />\indent (a) Definamos \\<br />$$\vec{F}(\vec{r})=(2x+y \sin(x-y), -y+y\sin(x-y), (x^2+y^2)^{\frac{1}{4}}-z\sin(x-y))$$ \\<br />\indent ¿En que region puede afirmar que $\vec{F}$ es de clase $C^1$? \\<br /><br />\indent (b) (5 ptos) Calcule:<br /><br />$$ \iint_S \vec{F} \cdot \hat{n}dA$$ \\<br /><br />\indent donde $S$ es la superficie $x^2+y^2=e^z$, y $ 0\leq z \leq 1$, orientada segun normales $\hat{n}$ que apunten alejandose del eje $z$. \\ Indicacion: Puede argumentar que ciertas integrales que aparecen son cero por simetria.<br />$ $TEX: <br />\noindent \fbox{Problema 3.} \\<br /><br />\indent (a) Verifique que:<br />$$ \vec{F}(\vec{r})=(y^2\cos(x)+z^3) \hat{i}+(2y\sin(x)-4)\hat{j}+(3xz^2+2z)\hat{k}$$ \\<br />es un campo conservativo y encuentre un potencial escalar.\\<br /><br />\indent (b) (3 ptos.) Calcule $\int_\Gamma \vec{G}\cdot d\vec{r}$ donde: \\<br />$$ \vec{G}(\vec{r})=(y^2\cos(x)+2z^3) \hat{i}+(2y\sin(x)-4)\hat{j}+(3xz^2+2z)\hat{k}$$ \\<br />y $\Gamma$ es la curva que consta del arco de $y=x^2$, $z=0$ del origen al punto $(1,1,0)$ junto con el segmento recto de $(1,1,0)$ al punto $(0,0,1)$. \\<br /><br />\indent © (2 ptos.) Considere una superficie regular y orientable $S$ con campo de normales $\hat{n}$, y $\vec{F}, \vec{G}: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ dos campos vectoriales de clase $C^1$ tales que: \\<br /><br />$\qquad \qquad \qquad \vec{F}(\vec{r})=\vec{G}(\vec{r}) \quad $ para todo $\vec{r} \in S$\\<br /><br />\indent Muestre que: \\<br /><br />$\qquad \qquad (rot\vec{F})(\vec{r})\cdot\hat{n}= (rot\vec{G})(\vec{r})\cdot\hat{n} \quad $ para todo $\vec{r} \in S$ \\<br /><br />De un ejemplo de $S$, $\vec{F}$, $\vec{G}$ que cumplan las condiciones anteriores pero <br />$$ rot \vec{F}(\vec{r}) \neq rot \vec{G}(\vec{r})$$ \\<br />Indicaciones: Dado $\vec{r}_0 \in S$ utilice el teorema de Stokes en una familia de superficies adecuadas (perqueñas y centradas en $\vec{r}_0$)<br />$ Mensaje modificado por Metal Militia el Sep 12 2009, 09:55 PM -------------------- "Las Matematicas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo"

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2009, 11:47 PM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Gracias Metal Militia, te pasaste -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

lokko62 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 4 2010, 08:42 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 73 Registrado: 9-May 08 Miembro Nº: 22.618 Nacionalidad: Sexo:	P3 $TEX: $$\text{ Si }\nabla f=F\to \frac{\partial f}{\partial x}={{y}^{2}}\cos x+{{z}^{3}}\Rightarrow f\left( x,y,z \right)={{y}^{2}}\sin x+x{{z}^{3}}+g\left( y,z \right)$$$ $TEX: $$\to \frac{\partial f}{\partial y}=2y\sin x+\frac{\partial g}{\partial y}=2y\sin x-4\Rightarrow g\left( y,z \right)=-4y+h\left( z \right)$$$ $TEX: $$\to \frac{\partial f}{\partial z}=3x{{z}^{2}}+\frac{\partial h}{\partial z}=3x{{z}^{2}}+2z\Rightarrow f\left( x,y,z \right)={{y}^{2}}\sin x+x{{z}^{3}}-4y+{{z}^{2}}+C$$$ $TEX: $$\int_{\Gamma }{\overrightarrow{G}\centerdot d\overrightarrow{r}}=\int_{\Gamma }{\overrightarrow{F}\centerdot d\overrightarrow{r}}+\int_{\Gamma }{{{z}^{3}}dx}\underbrace{=}_{\begin{smallmatrix} <br /> \nabla f=F \\ <br /> {{C}_{1}}:z=0 <br />\end{smallmatrix}}f\left( 0,0,1 \right)-f\left( 0,0,0 \right)+\underbrace{\int_{{{C}_{1}}}{{{z}^{3}}dx}}_{0}+\int_{{{C}_{2}}}{{{z}^{3}}dx}$$$ $TEX: $${{C}_{2}}:r\left( t \right)=\left( 1-t,1-t,t \right),t\in \left[ 0,1 \right]$$$ $TEX: $$\Rightarrow \int_{\Gamma }{\overrightarrow{G}\centerdot d\overrightarrow{r}}=1+\int_{0}^{1}{-{{t}^{3}}dt}=\frac{3}{4}$$$ -------------------- http://facebook/niumbrillo https://twitter.com/#!/niumbrillo CITA(Pasten) Estimados, He bajado del olimpo para hacerme presente, quebrarme y molestar. Procedo: Usuario: Oh ilustre Pasten, que nos honras con tu presencia, llegara el dia en que podamos ver la vida desde el pedestal de bacanidad en el que tu, oh ser magnifico, contemplas nuestras burdas conversaciones? Pasten: No. Saludos CITA(Sansanito) Es re fácil entrar a princeton... no tiene ni rejas....

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