 * Uno fácil de polinomios |
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 Sep 12 2009, 04:19 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.818 Registrado: 21-December 06 Miembro Nº: 3.434  |
Sea
 un dominio de integridad y  un elemento irreducible sobre él. Muestre que no existe ningún polinomio ![TEX: $f(x) \in D[x]$](./tex/713bd0a4bcba3629d1778c9cec1fc919.png) tal que  .
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Nov 22 2020, 08:44 PM
Publicado:
#2
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Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad:  Sexo:  |
![TEX: Si existiera, entonces existe $q_1\in D[x]$ tal que $f(x)q_1(x) = c$ pero de aquí sigue que $\text{gr}(fq_1) = 0$ luego como $D$ es dominio de integridad: $\text{gr}(f)+\text{gr}(q_1) = 0$ de esta manera, $\text{gr}(f) = \text{gr}(q_1) = 0$ y entonces $f(x) = a\in D$, además existe $q_2\in D[x]$ tal que $q_2(x)a = x$, luego evaluando concluimos que $a$ es invertible, y por tanto $f$ es invertible en $D[x]$ luego $(f) = D[x]$ y entonces $D[x] = (x,c)$, luego existen $p_1,p_2\in D[x]$ tales que $p_1(x)x+p_2(x)c = 1$ y evaluando en 0 obtenemos $p_2(0)c=1$ de donde $c$ es invertible lo que es una contradicción pues $c$ es irreducible.](/tex-image/fbdf3cdd792c4ac66202c7926045c467.png)
-------------------- Hago clases particulares (activo 2024).
Cualquier consulta por MP. |
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