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Triangulo rectangulo, Resuelto por Kaissa

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 1 2009, 10:26 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Estabamos en prueba de mates, y aparecio este ejercicio, y supuestamente sale con relaciones sencillas de un triangulo rectangulo, pero la solucion que di en la prueba fue tan distinta y tan linda, ademas de solo usar teoria y no calculos directamente, les animo a encontrar mi solucion y que posteen las suyas. ss.jpg ( 6.9k ) Número de descargas: 30 Sea AD=h la altura desde A del ABC, y sea BC=2h, ademas sean CD=p y BD=q, demuestre que p=q. Saludos y Dios los bendiga. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2009, 03:33 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $ $\\<br />Sea $\mathcal{K}$ el circunc\'irculo de $\Delta ABC$, entonces si reflejamos el tri\'angulo vemos dos cuerdas de longitud $2h$ ambas y adem\'as perpendiculares, esto se logra \'unicamente si ellas son di\'ametros (si no entonces una es mas corta que la otra), osea $p=q$ por ser $D$ el centro de $\mathcal{K}$.$ Mensaje modificado por Kaissa el Sep 2 2009, 03:35 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2009, 07:45 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Sep 2 2009, 05:33 PM) $TEX: $ $\\<br />Sea $\mathcal{K}$ el circunc\'irculo de $\Delta ABC$, entonces si reflejamos el tri\'angulo vemos dos cuerdas de longitud $2h$ ambas y adem\'as perpendiculares, esto se logra \'unicamente si ellas son di\'ametros (si no entonces una es mas corta que la otra), osea $p=q$ por ser $D$ el centro de $\mathcal{K}$.$ Solucion correcta y parecida a la mia , variando un poquitito obtenemos la mia, que no dista mucho de esta brillante solucion, sigan posteando sus soluciones. Que Dios los bendiga -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 19 2010, 01:42 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: La solucion sencilla: Por Euclides $\sqrt{pq}=h$ (i), ahora $p+q=BC=2h$, $p+q=2h$, entonces por (i) $p+q=2\sqrt{pq}$, $\dfrac {p+q}{2}=\sqrt{pq}$, pero por $MA\ge MG$:$\dfrac {p+q}{2}\ge \sqrt{pq}$, solo dandoce la igualdad con $p=q$, y concluimos$ -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 20 2010, 01:40 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Pedantic Anarchy @ Mar 19 2010, 03:42 PM) $TEX: La solucion sencilla: Por Euclides $\sqrt{pq}=h$ (i), ahora $p+q=BC=2h$, $p+q=2h$, entonces por (i) $p+q=2\sqrt{pq}$, $\dfrac {p+q}{2}=\sqrt{pq}$, pero por $MA\ge MG$:$\dfrac {p+q}{2}\ge \sqrt{pq}$, solo dandoce la igualdad con $p=q$, y concluimos$ Bonita solución, pero no es la más simple, más simple es la dada por Kaissa, que no recurre más que pura geometría. Saludos. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 20 2010, 02:17 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(makmat @ Mar 20 2010, 02:40 PM) Bonita solución, pero no es la más simple, más simple es la dada por Kaissa, que no recurre más que pura geometría. Saludos. Con Sencilla me referia a que no hay que realizar contrucciones auxiliares. Se agredece el comentario -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 17 2013, 04:48 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Mis disculpas por revivir un tema viejo, pero verlo me causó cierta nostalgia y no pude evitar querer sumarme a la causa: Se traza la mediana $TEX: $\overline{AM}$$ . Es sabido que $TEX: $AM=h$$ , luego el triángulo $TEX: $MAD$$ es isósceles de base $TEX: $\overline{MD}$$ , de lo que se sigue que $TEX: $\angle{MAD}=0$$ , pues $TEX: $\angle{D}=\angle{M}=90^{\circ}$$ , por lo que $TEX: $M=D$$ . Finalmente $TEX: $D$$ es punto medio, concluyendo que $TEX: $p=q$$ $TEX: $\blacksquare$$ Saludos. -------------------- Me voy, me jui.

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 17 2013, 10:40 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	CITA(El Geek @ Jun 17 2013, 04:48 AM) Mis disculpas por revivir un tema viejo, pero verlo me causó cierta nostalgia y no pude evitar querer sumarme a la causa: Se traza la mediana $TEX: $\overline{AM}$$ . Es sabido que $TEX: $AM=h$$ , luego el triángulo $TEX: $MAD$$ es isósceles de base $TEX: $\overline{MD}$$ , de lo que se sigue que $TEX: $\angle{MAD}=0$$ , pues $TEX: $\angle{D}=\angle{M}=90^{\circ}$$ , por lo que $TEX: $M=D$$ . Finalmente $TEX: $D$$ es punto medio, concluyendo que $TEX: $p=q$$ $TEX: $\blacksquare$$ Saludos. Pero ¿por que la mediana=altura, asi de una sin explicacion? si tenes ese dato es entonces inmediato que p=q -------------------- >>>LG

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 17 2013, 12:48 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Porque la hipotenusa vale $TEX: $2h$$ . Y recuerda que la mediana trazada desde el ángulo recto, mide la mitad de ésta. Cev-ludos Mensaje modificado por El Geek el Jun 17 2013, 03:38 PM -------------------- Me voy, me jui.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2013, 11:31 AM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(El Geek @ Jun 17 2013, 12:48 PM) Porque la hipotenusa vale $TEX: $2h$$ . mide. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

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