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1era Etapa Juegos Matemáticos, 3ero y 4to Medio

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2009, 06:55 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	"XI Juegos Matematicos Inter-regionales" Prueba Nº1 Serie 3º-4º Medio I. Ejercicios de desarrollo $TEX: 1. Si $x+y+z=1$ y $\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{y}+\dfrac{1}{z}=0$.<br /><br />Hallar el valor de la expresion $x^2+y^2+z^2$$ $TEX: 2. En la figuran se ven tres circulos de radios $1,2,3$ respectivamente. Calcular la longitud del arco y el area de la region que abarca el arco señalado con trazo grueso.<br />$ $TEX: 3. El triangulo ABC es isosceles de base AB. Desde un punto $P$, cualquiera de la base, se miden las distancias a los lados iguales $PD$ y $PE$<br /><br />Demostrar que la suma de estas distancias es igual a la longitud de la altura trazada desde un vertice de la base$ II. Determina la alternativa correcta, debes dejar desarrollo. $TEX: 1. Maria tiene una pieza rectangular de papel de 27 cm de largo y $351 cm^2$ de superficie. Corta dos triangulos equilateros tomando como bases los lados mas cortos del rectangulo. ¿Cual es el perimetro de la figura restante?<br /><br />A)132 B)106 C)80 D)79 E)53$ $TEX: 2. El mayor numero "n" tal que la suma $1+2+...+n$ sea menor o igual a 2008 es:<br /><br />A)50 B)61 C)62 D)63 E)70$ $TEX: 3. Dos circulos, cada uno de radio 1, estan inscritos como se ven en la figura. La diagonal del cuadrado mide:<br /><br />A)4 B)$\sqrt{2}$ C)$2+\sqrt{2}$ D)$2(1+\sqrt{2})$ E)$4+\sqrt{2}$$ $TEX: 4. Si $U+V=1$ y $U^2+V^2=2$, entonces $U^4+V^4$ vale:<br /><br />A)4 B)8 C)1 D)3 E)3.5$ $TEX: 5. Se llama factorial de "n" al producto $n!=1\cdot 2\cdot 3....\cdot (n-1)\cdot n$. Si $n!=2^{15}3^65^37^21113$, entonces $n$ es igual a:<br /><br />A)13 B)14 C)15 D)16 E)17$ $TEX: 6. En la figura los dos hexagonos regulares son iguales. ¿Que fraccion del area del paralelogramo esta coloreada?<br /><br />A)1/2 B)1/3 C)2/3 D)2/5 E)5/12$ $TEX: 7. Se escogen 3 puntos al azar de la siguiente configuracion. ¿Cual es la probabilidad de que esten alineados?<br /><br />A)1/12 B)1/11 C)1/16 D)1/8 E)3/12$ $TEX: 8. El numero $3^{32}-1$ tiene exactamente dos dividores que son mayores que 75 y menores que 85. ¿Cual es el producto de estos dos divisores?<br /><br />A)5682 B)6560 C)6804 D)6888 E)6972$ $TEX: 9. El rectangulo ABCD corta al circulo en los puntos E,F,G,H. Si AE=4cm, EF=5cm y DG=3cm, entonces la longitud de HG es:<br /><br />A)6cm B)7cm C)20/3cm D)8cm E)9cm$ $TEX: 10. Si $sen(x)+cos(x)=m$, entonces $sen^4(x)+cos^4(x)=$<br /><br />A)$1-\dfrac {(1-m^2)^2}{2}$ B)$1+\dfrac{(1-m^2)^2}{2}$ C)$\dfrac{1-(1-m^2)^2}{2}$ D)$m^4$ E)$m^4+1$$ Con respecto a las imagenes, si alguien es amable me puede enviar algunas via MP y las coloco. Taba entrete la prueba, comenten los k la dieron Archivo descargable aca* JM34.doc ( 121.5k ) Número de descargas: 44 -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Manuel Fco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2009, 07:08 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.077 Registrado: 19-December 07 Desde: Santiago, RM. Miembro Nº: 13.971 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> I.1) \hfill \\<br /> x + y + z = 1 \hfill \\<br /> \frac{1}<br />{x} + \frac{1}<br />{y} + \frac{1}<br />{z} = 0 \hfill \\<br /> \frac{{yz + xz + xy}}<br />{{xyz}} = 0 \hfill \\<br /> \Rightarrow yz + xz + xy = 0 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 - 2(xy + xz + yz) \hfill \\<br /> x^2 + y^2 + z^2 = 1^2 - 2 \cdot 0 = \boxed1 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Saludos Kain # 13

Psntnyu Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2009, 10:45 PM Publicado: #3
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 33 Registrado: 23-November 08 Miembro Nº: 39.318 Nacionalidad: Sexo:	I.3) Se prolonga FP, luego se traza AQ perpendicular a la prolongacion. AP es bisectriz de el angulo EPQ, entonces PQ=PE=a. Entonces h=a+b. Dibujo.PNG ( 12.48k ) Número de descargas: 13 Saludos. --------------------

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2009, 10:46 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	ese teorema se llama "teorema 1ero de viviani" (el aporte xd) y una manera alternativa de probarlo es sumando areas. Mensaje modificado por Kaissa el Aug 29 2009, 11:33 AM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2009, 11:24 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Aug 29 2009, 11:46 AM) ese teorema se llama "teorema 1ero de vivali" (el aporte xd) y una manera alternativa de probarlo es sumando areas. Si bien yo conocia esta propiedad de antes, no sabia que tenia este nombre , se agradece el aporte freak, Kaissa. La solucion con areas (que mi equipo ocupo en la prueba) fue la sig: $TEX: $P3$. Sea $S_{XYZ}$ el area del $\triangle XYZ$. Asuma que $D\in CA$ y $E\in CB$ Es facil ver que:<br /><br />$S_{ABC}=S_{APC}+S_{BPC}=\dfrac{CA\cdot PD}{2}+\dfrac{CB\cdot PE}{2}$<br /><br />Pero $CA=CB=a$, luego $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot (PD+PE)$<br /><br />Se sigue que $PD+PE=\dfrac {2S_{ABC}}{a}$, y por lo tanto $PD+PE$ es cte. $\blacksquare$$ Aprovecho para decir que la solucion de Manuel Fco es correcta, y la de Psntnyu esta en vias de ser correcta. ¿A que me refiero? Lo que pasa es que debes ocupar la notacion del problema ( o sea, esa F es confusa, por ejemplo) y debes justificar lo de la bisectriz, pero se puede llegar a una solucion alternativa mediante esto Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

VITOKIN Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2009, 05:07 PM Publicado: #6
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 13 Registrado: 12-November 08 Miembro Nº: 38.438	Yo utilice otra demostracion para el 3 de desarrollo: Se traza la altura que cae desde A hasta el punto G que pertenece al lado BC, entonces Lo que queremos demostrar es que PD+PE=AG Sea alfa el valor de los angulos basales Ahora por otro lado, del Triangulo AGB deducimos que : sen(alfa)=AG/AB Del Triangulo PEB deducimos que: sen(alfa)=PE/PB y por ultimo del triangulo PAE deducimos que: sen(alfa)=PD/PA Ahora, bien sabemos que: AB=AP+PB Reemplazando las ecuaciones anteriores, AB, AP y PB, tenemos que: AG/sen(alfa)=PE/sen(alfa)+PD/sen(alfa) Amplificando la ecuacion anterior por sen(alfa) obtenemos: AG=PE+PD, luego, q.e.d. PD: Sorry por la escritura, es primera vez que posteo algo en fmat.

andyx_zb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2009, 01:22 AM Publicado: #7
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 25 Registrado: 5-November 08 Miembro Nº: 37.881 Nacionalidad: Sexo:	no es por nada pero... igual es penka ke algunos ekipos pasen por la ayuda de los profesores de su liceo!!! asi no se puede po!!

felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2009, 10:37 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	II.5) $TEX: $n!=2^{15}3^65^37^211\cdot13$$ Analizando de los factores más grandes a los más chicos, como el 13 está de factor, n tiene que ser mayor o igual que 13. Luego, como 7 está dos veces, es mayor o igual que 14. 5 está tres veces, por lo que n será mayor o igual que 15. El hecho de que el 3 esté 6 veces, da lo mismo, puesto que tanto 15! como 16! y 17! tienen igual cantidad de 3 en su descomposición prima. Finalmente, el 2 está 15 veces, permitiéndonos formar hasta el 16. En resumen, habría sido mejor analizar al tiro el 2 XD II.4) $TEX: $u+v=1 \Rightarrow \underbrace{u^2+v^2}_{=2}+2uv=1 \Rightarrow 2uv=-1 \Rightarrow 2u^2v^2=\dfrac{1}{2}\\ u^2+v^2=2 \Rightarrow u^4+v^4+\underbrace{2u^2v^2}_{=\frac{1}{2}}=4 \\<br />\text{luego} u^4+v^4=3,5 $$ andyx_zb, ¿a qué te refieres con tu comentario? me gustaría saber más acerca de eso. -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2009, 03:27 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(andyx_zb @ Nov 1 2009, 02:22 AM) no es por nada pero... igual es penka ke algunos ekipos pasen por la ayuda de los profesores de su liceo!!! asi no se puede po!! No es por armar polemica andyx_zb, me gustaria a mi tambien saber a que te refieres. Por lo personal, yo confio en la organizacion y que la competencia fue justa (y personalmente, me parecio entrete, como debiera ser). Lo importante de estas competencias es salir de la rutina e intentar disfrutarlas y aprender , no tanto ganar. Para el problema 8 de la segunda parte, basta ver que $TEX: $3^{32}-1=(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)$$ $TEX: $3^4-1=80$$ y $TEX: $3^4+1=82$$ , eso quiere decir que estos son los divisores indicados, y su producto es $TEX: $6560$$ , o sea la correcta es la alternativa $TEX: $B$$ Para Felper, tus respuestas al II. 4) y II. 5) son correctas, el mismo procedimiento que ocupe en la prueba cuando la di =). Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

DaddyDj Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 19 2009, 07:17 PM Publicado: #10
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 12 Registrado: 9-March 08 Miembro Nº: 16.512 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Y yo ke sali tercer lugar en tercero medio y primer lugar en cuarto medio.... Toy hablando hace 3 años atras... me gane sus medallas y su wena calculadora Texas

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