aporte geometria 2 Opciones

[jorge_17]

[Guz]

Este problemita se me fue en collera.
Solución debida a Kummer (1848).

Notar que AB^2+AD^2-2 AB.AD.cos(∠BAD)=BD^2 por lo que cos(∠BAD) es racional.
También AB^2+AC^2-2AB.AC.cos(∠CAD) = BC^2 → cos(∠CAB) es racional. Similarmente, cos(∠CAD) es racional.
Pero ∠CAB+∠CAD = ∠BAD → cos(∠BAD) = cos(∠CAB+∠CAD) = cos(∠CAB).cos(∠CAD) - sen(∠CAB).sen(∠CAD) es racional, por lo que sen(∠CAB).sen(∠CAD) es racional. Como además sen(∠CAB)^2=1-cos(∠CAB)^2 es racional, concluimos que sen(∠CAD)/sen(∠CAB) es racional.
Pero, por el teorema del seno, OB/AB=sen(∠CAB)/sen(∠BOA) y OD/AD = sen(∠CAD)/sen(∠DOA) y además como sen(∠BOA)=sen(∠DOA), concluimos que
(OB/AB)/(OD/AD)=sen(∠CAB)/sen(∠CAD) → OB/OD = (AB/AD).(sen(∠CAB)/sen(∠CAD)) o sea OB/OD es racional. Similarmente se concluye en la otra diagonal.

Mensaje modificado por Guz el Jan 10 2022, 08:14 AM