1º Maraton Olimpica 2009: Segunda Etapa - Foro fmat.cl

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1º Maraton Olimpica 2009: Segunda Etapa, rumbo a la final!!!!

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2009, 07:08 PM Publicado: #61
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	wow nunca habia escuchado sobre esa desigualdad de Schur, muy buena ese era el paso q me faltaba xDD -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2009, 01:56 PM Publicado: #62
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Dado que aun no hay respuesta para el problema 13, lo borrare de la maraton, y lo reemplazare por el siguiente problema: $TEX: Problema 13: Demuestre que no existe ningun conjunto finito $S$ de naturales tal que si $m,n\in S$, entonces $2m-n^2\in S$$ Se recuerda que como gpipe respondio "virtuosamente" el p12, no debe contestar el p13 (a menos que se le de autorizacion) -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2009, 03:56 PM Publicado: #63
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	nu lo borres ps el problema 13, taba chevere, no lo intente resolver porque no tuve time, pero ni modo ps, ahora intentare el 13 nuevo Mensaje modificado por xD13G0x el Sep 9 2009, 04:25 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2009, 04:25 PM Publicado: #64
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Supongo que En el problema anterior el conjunto debe tener al menos 2 elementos pues vemos que el conjunto S={1} si cumple lo pedido $TEX: Supongamos que existe un conjunto $S$ con tales caracteristicas, sea $x$ el menor de los elementos de este conjunto, claramente $x\ge 0$ Como el conjunto tiene mas de un elemento, existe un $y\in S$ tal que $y\ge x+1$ Entonces $2x-y^2\le 2x-(x+1)^2=2x-x^2-2x-1=-x^2-1\le -1 \in S$ contradiccion, porque el conjunto solo tiene numeros naturales$ Comentario: no se utilizo el hecho que fuera un conjunto finito, puesto que incluso un conjunto infinito de numeros naturales tiene un elemento minimo -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2009, 05:21 PM Publicado: #65
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Pido disculpas pq en realidad el problema debia considerar a $S$ como conjunto de reales, no de naturales. Por resolver correctamente esta parte mas sencilla te asigno 3 puntos. Saludos y el problema sigue en pie. PD: Los problemas que se estime convenientes, los colocare en propuestos con el nombre Privaron Maraton #n (con n natural =D) -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2009, 08:25 PM Publicado: #66
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	weno, luego de probar media hora creo q ya saque la nueva version del problema 13 Solucion problema 13: $TEX: Supongamos que existe un conjunto $S$ con tales caracteristicas, como el conjunto es finito y tiene almenos 2 elementos, sean $a$ y $b$ los elementos minimo y maximo respectivamente.<br />Supongamos que $a<0 \Rightarrow 2a-a^2<2a<a \in S$ que contradice la minimalidad de $a$. Entonces $b>a\ge 0$<br />Como $a\le 2a-b^2 <2a-a^2\Rightarrow 0<a-a^2\Rightarrow a^2<a$. Finalmente $2b-a^2=b+(b-a^2)>b+(b-a)>b\in S$, que contradice la maximalidad de $b$, entonces no existe tal conjunto $S$$ Acabo de modificar la solucion porque me di cuenta que hay un monton de boludeces por ahi, ahora esta mas directo (esto pasa cuando copias directo del borrador sin pensar) Mensaje modificado por xD13G0x el Sep 9 2009, 10:59 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 10 2009, 08:31 PM Publicado: #67
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bonus: $TEX: Encuentre todos los enteros $x,y$ tales que $3x^2-2y^2=1998$$ (5 ptos) -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 12 2009, 06:18 PM Publicado: #68
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ha pasado mucho tiempo y el p14 se reemplazara por el siguiente problema $TEX: Problema 14. Considere dos secuencias $x_1, x_2,..., x_n$ y $y_1, y_2,..., y_n$ de reales, donde los $2n$ reales son distintos entre si. Sea $T$ un tablero de $nxn$, y sea $a_{i,j}$ un numero en el casillero ubicado en la i-esima fila y j-esima columna. Sabemos que $a_{i,j}=x_i+y_j$ para todo $i,j$ En cada columna multiplicamos todos los numeros ubicados en dicha columna. Sorprendentemente vemos que todos los productos son iguales a 2009. Demuestre que los productos de los numeros en cada fila es el mismo, y determine los posibles valores de este producto.$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 12 2009, 09:23 PM Publicado: #69
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kain #13 @ Sep 10 2009, 10:31 PM) Bonus: $TEX: Encuentre todos los enteros $x,y$ tales que $3x^2-2y^2=1998$$ (5 ptos) Hint: Podria notar que $TEX: $2y^2=3x^2-1998$$ es decir $TEX: $3\|y$$ , ahi trate de hallar ciertas regularidades saludos -------------------- blep

Jaguar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2009, 06:14 PM Publicado: #70
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 64 Registrado: 9-May 09 Miembro Nº: 50.767 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	El bonus $TEX: De la ecuacion $3x^2 - 2y^2 = 1998$, notamos que $2\|x$ y $3\|y$, por lo que podemos decir que existen 2 enteros $p$ y $q$ tales que $x=2p$ e $y=3q$, reemplazando en la ecuacion tenemos $12p^2 - 18q^2 = 1998$, simplificando nos queda $2p^2 - 3q^2 =333$, de esta ecuacion se desprende que $3\|p$, entonces existe un entero $r$ tal que $p=3r$, reemplazando y simplificando nos queda $6r^2 - q^2 = 111$, entonces podemos decir que $3\|q$, por lo que existe un entero $s$ tal que $q=3s$, por lo que la ecuacion nos queda $2r^2 - s^2 = 37$, qui notamos que $s$ es impar por lo que podemos decir que $s=2n+1$, reempazando y realizando las simplificaciones nos queda $r^2 = 19 - 2( n^2 + n)$, entonces $r$ es impar por lo que lo podemos escribir como $r=2m+1$, reemplazando en la ecuacion nos queda $2m(m+1) - n(n+1) = 9$, pero si despejamos $n(n+1)$ nos queda $n(n+1) = 2m(m+1) - 9$ lo que es un numero impar, pero el producto entre un entero cualquiera y su sucesor siempre es par, por lo que llegamos a una contradiccion, entonces no existe un par de numeros enteros que cumplan con la ecuacion inicial$ --------------------

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