1º Maraton Olimpica 2009: Segunda Etapa - Foro fmat.cl

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1º Maraton Olimpica 2009: Segunda Etapa, rumbo a la final!!!!

gpipe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2009, 09:21 PM Publicado: #41
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 36 Registrado: 18-August 07 Miembro Nº: 8.943 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Consideremos las equaciones $2008x^2+AX+B$,$Ax^2+2008x+B$,$Ax^2+Bx+2008$ cuyos discriminantes son $2008^2-4AB,A^2-4\cdot 2008B,B^2-4\cdot 2008A$ que son positivos(sino pedro no podria ganar),sin Pérdida de generalidad supongamos que $A \ge B$ de la primera $2008^2 \ge 4AB \ge 4B^2$ luego $502\ge B$ luego en el tercer discriminante $B^2 \ge 4 \cdot2008A \ge4\cdot 2008B $ como B es no negativo $B \ge 4 \cdot 2008 $ contradiccion!.$

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2009, 09:31 PM Publicado: #42
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Note que para que las soluciones sean distintas, el discriminante debe ser mayor que $0$, además como en el discriminante sólo se están operando enteros, entonces $D=b^2-4ac=k^2$, con $k$ entero positivo, pues si $D$ no es cuadrado perfecto las soluciones serían irracionales. Entonces $D$, puede ser de las siguientes maneras:$ $TEX: $B^2-2008\cdot4A=k^2\implies (B-k)(B+k)=2^5\cdot 251 A$, obviamente $B-k<B+k$, entonces basta con que $B-k$ y $B+k$, sean ambos pares y cuyo producto sea $2^5\cdot 251 A$, para que $B$ y $k$, sean enterso positivos, luego puede escoger cualquier valor para $A$ sólo asegurándose que $B-k$ y $B+k$ sean ambos pares.$ $TEX: $A^2-2008\cdot 4 B$, el caso es análogo al anterior.$ $TEX: $2008^2-4AB=k^2 \implies 4AB=(2008-k)(2008+k)$, sean $p=(2008-k)$ y $q=(2008+k)$, tal que $p\cdot q=4AB \implies p+q=2^4\cdot 251$, luego $p,q$ son ambos pares, pues la otra posibilidad es que sean ambos impares, pero $p\cdot q$ es par, lo que no puede ser. Luego basta que $p=2A$ y $q=2B \implies 2008=A+B$, basta entonces que Ricardo escoja 2 enteros positivos que sumen 2008.$ Juntando todos los caso tenemos lo pedido. Saludos espero esté bueno y se entienda el argumento. Mensaje modificado por makmat el Sep 2 2009, 09:41 PM -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2009, 09:45 PM Publicado: #43
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ahora lo interesante.... ¿Es posible que se culpan simultaneamente las 3 condiciones?? Ademas seria ideal que pusieras un ejemplo explicativo de como operaria Ricardo (notese, no yo). -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2009, 11:39 PM Publicado: #44
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Para el bonus. ya que gpipe creo que tiene ganado el 11 xdd $TEX: Asumiremos que $A>1$(pues el caso $A=1$ es trivial).$ Proposición 1. $TEX: $ord_{A^n-1}(A)=n$. Demostración, sea $ord_{A^n-1}(A)=k \implies A^k\equiv 1(mod.A^n-1)$ y que $k$ es el menor natural que cumple esto, luego como tanto $A^n-1$ y $A^k-1$ son positivos, se tiene que $A^k-1 \ge A^n-1\implies k\ge n$, vemos que el menor valor que puede tomar $k$ es $n$ y esto cumple que $A^k\equiv 1(mod.A^n-1) \implies ord_{A^n-1}(A)=n.$$ Proposición 2. $TEX: $gcd(A^n-1;A)=1$. Demostración, suponga que $gcd(A^n-1;A)=d$, con $d>1 \implies d\|A \implies d\|A^n$, pero $d\|A^n-1 \implies d\|1 \implies d=1.$$ Proposición 3. $TEX: Si $a^x\equiv1(mod. m) \implies ord_{m}(a)\|x$. Asumiremos que el lector conoce este teorema.$ $TEX: Ahora bien como $gcd(A^n-1;A)=1$, por el Teorema de Euler tenemos que: $A^{\phi (A^n-1)}\equiv 1(mod. A^n-1)$, pero por la primera proposición tenemos que $\phi (A^n-1) \ge n$, por lo que de la Proposición 3, tenemos que $ord_{A^n-1}(A)\|\phi (A^n-1)\implies n\|\phi (A^n-1)$, y sabemos del enunciado que $\phi (A^n-1)=S$ probando lo pedido.$ No se ustedes pero yo doy la Gloria al Señor por problemas con tan lindas soluciones, simplemente Dios es maravilloso, y lo vemos demostrado en esta hermosisima solucion, simplemente hermosa. Saludos. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 3 2009, 12:20 PM Publicado: #45
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	por la rptm, otra vez me ganaron, ya lo tenia escrito la solucion del bonus 10 minutos despues de postear el problema, pero por un motivo X se apago la maquina. PD: si doy otra solucion al bonus, cuantos puntos me dan? 4? Mensaje modificado por xD13G0x el Sep 3 2009, 12:30 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 3 2009, 02:26 PM Publicado: #46
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Sep 3 2009, 02:20 PM) por la rptm, otra vez me ganaron, ya lo tenia escrito la solucion del bonus 10 minutos despues de postear el problema, pero por un motivo X se apago la maquina. PD: si doy otra solucion al bonus, cuantos puntos me dan? 4? No importa cuantos puntos te den, sino que postees tu solucion , el objetivo de la Maraton es que todos vayamos creciendo en esto de Olimpiadas no solamente ganar puntos. Hazlo por el gusto de resolver problemas, no por los puntos. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 3 2009, 07:14 PM Publicado: #47
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	ja, era solo un decir, al final la iba a poner la solucion d todas formas, en ese instante no tenia tiempo. Bueno aca va!: solucion alternativa del bonus del problema 11 $TEX: <br />Se demostrara primero este lema: $a^n-1\mid a^m-1\Leftrightarrow n\mid m$ con $n,m,a$ naturales y $a>1$<br />Hacemos $m=nq+r$ con q y r enteros no negativos y $0\le r<n$ Entonces $a^n-1\mid a^m-1\Leftrightarrow a^n-1\mid a^{nq+r}-1=a^{nq+r}+a^r-a^r-1=a^r(a^{nq}-1)+a^r-1$. Pero como $a^{nq}-1=(a^n-1)(a^{n(q-1)}+a^{n(q-2)}+...+a^n+1)$ Entonces $a^n-1\mid a^{nq}-1$ y por lo tanto $a^n-1\mid a^m-1\Leftrightarrow a^n-1\mid a^r-1$ pero como $0\le r<n$, si $0<r<n\Rightarrow 0<a^r-1<a^n-1\Rightarrow a^n-1\nmid a^r-1$. Finalmente $a^n-1\mid a^m-1\Leftrightarrow r=0 \Leftrightarrow n\mid m$. Ya ta demostrado el lema$ $TEX: Volviendo al problema: $A^{\varphi (A^n-1)}\equiv 1(mod\ A^n-1)$ puesto que $A$ y $A^n-1$ son coprimos. Entonces $A^n-1\mid a^{\varphi (A^n-1)}-1$ y aplicando el lema obtenemos $n\mid {\varphi (A^n-1)}=S$$ Mensaje modificado por xD13G0x el Sep 3 2009, 07:22 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 3 2009, 07:37 PM Publicado: #48
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Si mi solucion es buena, la tuya es brillante, quien lo diria, lindo problema, lastima que solo es un bonus, deberia ser un problema de Maraton, pues son soluciones ingeniosisimas. Saludos y felicitaciones Diegox, el Señor te dio el manso talento. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 4 2009, 09:49 PM Publicado: #49
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bonito bonus que recibio bonitas soluciones por parte de dos "experimentados" participantes (lo digo pq no cualquiera se maneja en lo que es orden y eso). Aunque solo lo coloque como bonus pq en efecto, el problema era un tanto conocido Se les asignaran a makmat y a xD13G0x 5 y 4 ptos (respectivamente) A gpipe se le asignaran 10 ptos (gracias por notar el error y resolver el verdadero problema, el cual fue tomado de una olimpiada brasileña) Disculpen las molestias ilustres miembros -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 5 2009, 01:01 PM Publicado: #50
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 12: Sean $x,y,z$ reales positivos tales que $xyz=x+y+z+2$. Demuestre que:<br /><br />$xy+yz+zx+4\ge 2xyz$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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