1º Maraton Olimpica 2009: Segunda Etapa - Foro fmat.cl

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1º Maraton Olimpica 2009: Segunda Etapa, rumbo a la final!!!!

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 1 2009, 09:25 PM Publicado: #31
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Sea $m=$deg$P$, luego $0 \le m \le n < n+1$. Para demostrar la expresión del enunciado utilizaremos inducción:<br /><br />Si $m=0 \implies \displaystyle \sum_{k=0}^{1}(-1)^k\dbinom{1}{k}P(k)=P(0)-P(1)=0$, ya que $P(x)=a_0$, con $a_0$ real. Defina el polinomio $Q(x)=P(x+1)-P(x)$, note que el primer término de $P(x+1)$ es el de mayor grado, luego tras realizar algunas operaciones obtenemos que deg$Q(x)=m-1\le n-1 < n$. Vamos a definr que la expresión del enunciado es cierta para un $n-1$ mayor o igual al grado de $Q(x)$ y probaremos que también lo es para $n \ge$deg$P(x)$.$ $TEX: $0=-\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n}{k}Q(k)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n}{k}(P(k)-P(k+1))=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n}{k}P(k)-\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n}{k}P(k+1)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n}{k}P(k) +\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}(-1)^k\dbinom{n}{k-1}P(k)=P(0)+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(-1)^k(\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k-1})P(k)+(-1)^{n+1}P(n+1)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k\dbinom{n+1}{k}P(k)=0.$$ Saludos y que Dios los bendiga, conocía el problema (talvez de una IMO) y esta es la solución que manejo, espero se entienda. Mensaje modificado por makmat el Sep 1 2009, 09:45 PM -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 1 2009, 09:36 PM Publicado: #32
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Simplemente "bonito", bastante buena tu induccion. Solo notar que este era un Lema conocido (p13 shortlist imo 1981-p12 shortlist imo 1997) -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2009, 06:29 PM Publicado: #33
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 09: Dado un tablero cuadriculado, con 6 filas y 6 columnas, determine el menor numeros de casilleros que deben ser coloreados con rojo, para que sea imposible ubicar un "L-3" sobre 3 casilleros blancos. (Un L-3 es una ficha que cubre tres casilleros, en forma de L)$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

gpipe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2009, 06:58 PM Publicado: #34
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 36 Registrado: 18-August 07 Miembro Nº: 8.943 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: La respuesta es 18 como en la figura.Dividamos el tablero con 9 tableros de $2\times 2$ como en la figura, si pintaramos menos de 18 con rojo, debe haber algun casillero con 1 o menos casilleros rojos (no todos pueden tener 2 casilleros pintados se pasaria de 18),ese tablero hay exactamente 1 forma de poner la"L" luego para una coloracion con menos de 18 no se puede.$ Archivo(s) Adjunto(s) Dibujo.jpg ( 14.83k ) Número de descargas: 1

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2009, 07:11 PM Publicado: #35
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	xq cuando llego gpipe ya lo ha resuelto todo -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2009, 07:18 PM Publicado: #36
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Continuemos con otro problema (ya que la solucion de gpipe es correcta) $TEX: Problema 10: Dado un triángulo ABC, sean $T$ su circunferencia inscrita y $T_A$ su circunferencia ex-inscrita relativa al vértice A. $T$ y $T_A$ son tangentes al lado BC en puntos D y P, respectivamente. Sea X el punto diametralmente opuesto a D en $T$. Pruebe que los puntos A, X, P son colineales.<br />$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2009, 07:57 PM Publicado: #37
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	el problema es muy conocido man, es un lema creo. Solucion prob 10: $TEX: Sea B' y C' las intersecciones de AB y AC con la paralela a X trazada por BC. Claramente los triangulos AB'C' y ABC son homoteticos, con centro de homotecia en A, Entonces es facil ver que esta homotecia traslada el punto X al punto P, y como el centro de homotecia es A, de una propiedad conocida se deduce que A, X y P son colineales$ Hay otra solucion tambien facil, haber kien la encuentra. Mensaje modificado por xD13G0x el Sep 2 2009, 07:58 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2009, 08:39 PM Publicado: #38
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 11: Matias y Ricardo juegan el siguiente juego. Ricardo escoge dos enteros no negativos $A$ y $B$. Matias forma una ecuacion cuadratica con coeficientes $A$, $B$, $2008$ (en algun orden). Ricardo gana si la ecuacion tiene dos raices racionales distintas. En caso contrario, gana Matias. <br /><br />Demuestre que Ricardo tiene una estrategia ganadora.$ $TEX: Bonus i) (5 pts) Sea $S$ la cantidad de primos relativos con $A^n-1$, $A, n$ naturales. Demuestre que $n$ divide a $S$.$ Ojo!!!: Quien resuelva el p11, no debera postear respuesta al bonus i), y el reciproco tbn se cumple. El usuario k respondio el p10 si puede postear solucion al bonus i). Y el analogo se aplica para los siguientes bonus. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2009, 09:09 PM Publicado: #39
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Pues no entiendo el bonus, que significa esto: Sea S la cantidad de primos relativmos con A^n-1? Osea, hay cantidad infinita d primnos relativos con A^n-1 no? -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2009, 09:09 PM Publicado: #40
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Sep 2 2009, 11:09 PM) Pues no entiendo el bonus, que significa esto: Sea S la cantidad de primos relativmos con A^n-1? Osea, hay cantidad infinita d primnos relativos con A^n-1 no? Menores que dicho numero, perdon por no especificar -------------------- blep

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