1º Maraton Olimpica 2009: Segunda Etapa - Foro fmat.cl

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1º Maraton Olimpica 2009: Segunda Etapa, rumbo a la final!!!!

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2009, 06:22 PM Publicado: #21
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 06: Demuestren que no existen $m,n\in \mathbb{N}$ tales que:<br /><br />$\dfrac {m}{n}+\dfrac {n+1}{m}=4$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2009, 06:44 PM Publicado: #22
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent Notar que eso equivale a $$m^2+n^2+n-4mn=0$$ que es una cuadr\'atica en $m$ con discriminante $$16n^2-4(n^2+n)=12n^2-4n=4(3n^2-n)$$ que es un cuadrado perfecto si y solo si $3n^2-n=n(3n-1)$ lo es. Como $3\cdot n-(3n-1)=1$ entonces $gcd(3n-1,n)=1$ entonces para que $n(3n-1)$ sea cuadrado tenemos que cada uno debe ser cuadrado. Pero $3n-1\equiv 2(mod\ 3)$ y $2$ no es un resto cuadr\'atico en modulo $3$. Por lo tanto, el discriminante nunca es cuadrado y $m$ nunca entero.$ Mensaje modificado por pelao_malo el Aug 31 2009, 09:29 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2009, 07:02 PM Publicado: #23
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Pelao revisa la factorizacion!!!! -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2009, 01:53 PM Publicado: #24
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Finalizare lo que hizo pelao malo: $TEX: $m=\dfrac{4n\pm\sqrt {12n^2-4n}}{2}=2n\pm2\sqrt{3n^2-n}=2n\pm2\sqrt{n(3n-1)}$<br />Pero $n$ y $3n-1$ son coprimos, eso implica que ambos son cuadrados, pero $3n-1$ es congruente con 2 modulo 3, contradiccion.$ Mensaje modificado por xD13G0x el Aug 31 2009, 10:25 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2009, 08:24 PM Publicado: #25
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	jejejeeeee solucion correcta, amigo xD13G0x. Sin embargo, no explicaste por que $TEX: $n$$ y $TEX: $3n-1$$ son coprimos, y por que necesariamente deben ser cuadrados, pero no es dificil de ver. $TEX: Problema 07: Sea $\triangle ABC$ un triangulo tal que $\measuredangle A=90º$. Sea $D$ un punto sobre $BC$, y $E$ su reflexion sobre el lado $AB$. Sean $F=AB\cap DE$ y $G=AB\cap CE$. Llamemos $H$ a la proyeccion ortogonal de $G$ sobre $BC$ y sea $I=HF\cap CE$<br /><br />Demuestre que $G$ es el incentro del $\triangle AHI$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

gpipe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2009, 08:36 PM Publicado: #26
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 36 Registrado: 18-August 07 Miembro Nº: 8.943 Nacionalidad: Sexo:	Segunda solucion P6 $TEX: La equacion es equivalente a $m^2+n^2+n=4mn$,Sea $g=mcd(m,n)$ luego existen $k_1,k_2$ enteros, coprimos y tales que $m=gk_1,n=gk_2$, reemplazando en la equacion queda $(gk_1)^2+(gk_2)^2+gk_2=4(gk_1)(gk_2)$ que se transforma en $gk_1^2+gk_2^2+k_2=4gk_1k_2$ pero aplicando modulo g a la equacion se obtiene $k_2\equiv 0(mod g)$, osea $g\|k_2$(1), pero aplicando a la equacion modulo $k_2$ se obtiene $gk_1^2\equiv 0(modk_2)$ que implica que $k_2\|g$(2) ya que $k_1,k_2$ son coprimos,de (1) y (2) se obtiene $k_2=g$, reemplazando en la equacion $gk_1^2+g^3+g=4g^2k_1$ que implica $k_1^2+g^2+1=4gk_1$ aplicando modulo 4 a esta $k_1^2+g^2+1\equiv 0(mod 4)$(3) pero es bien sabido que $x^2\equiv 0,1(mod 4)$ luego es imposible que (3) sea verdad, luego la equacion no tiene soluciones enteras.$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2009, 08:47 PM Publicado: #27
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Simplemente brillante Se te abjudican gustosos los 7 puntos maximo, es realmente bonita la solucion. Felicitaciones gpipe, y sigue con ese brillante nivel, veo que vas en muuy buen camino -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

gpipe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2009, 09:40 PM Publicado: #28
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 36 Registrado: 18-August 07 Miembro Nº: 8.943 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Notemos que como el cuadrilatero AGHC es ciclico (la suma de los angulos opuestos es 180) $\angle GHA=\angle GCA$ pero como CA y DF son perpendiculares a AB estas son paralelas y luego $\angle GCA=\angle GED$ pero como E es el simetrico dew D con respecto a AB $\angle GED=\angle GDE$ y como el cuadrilatero GFDH es ciclico,$\angle GDF=\angle GHF$, y despues de todo esto llegamos a que $\angle AHG=\angle GHF$(A),Ahora como el cuadrilatero AGHC es ciclico $angle GAH=\angle GCH$(1).Tambien el cuadrilatero GFDH es ciclico (angulos opuestos) ,luego $\angle FGD=\angle FHD$ pero $\angle EGF=\angle FGD$ (ya que los triangulos GFD y GFE son congruentes) luego $\angle IGB=\angle EGF=\angle FHB=\angle IHB$ luego el cuadrilatero GIBH es ciclico luego $\angle GIB=90$, luego el cuadrilatero AIBC es ciclico y luego $\angle ICB=\angle IAB$ y junto con (1) se sigue que $\angle IAG=\angle GAH$(B), de (A) y (B) se obtiene lo pedido.$ Archivo(s) Adjunto(s) dibujo.png ( 85.9k ) Número de descargas: 0

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2009, 10:15 PM Publicado: #29
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	=O. Tranquilo Gpipe, tas que te resuelves todo, creo q ta bien la solucion, kisas encuentre otra luego yo cuando tenga tiempo. -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 1 2009, 07:32 PM Publicado: #30
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Aug 31 2009, 11:15 PM) =O. Tranquilo Gpipe, tas que te resuelves todo, creo q ta bien la solucion, kisas encuentre otra luego yo cuando tenga tiempo. En definitiva la solucion de gpipe esta correcta, y tranquilo xD13G0x, recuerda que existen soluciones alternativas (al menos al de la desigualdad xD) Para pelao, una lastima, aquel error de tipeo te arruino una solucion bien encaminada. Sigamos: $TEX: Problema 08: Sea $P(x)$ un polinomio, y sea $n\in \mathbb{N}$ tal que $n\ge deg(P)$, donde $deg(P)$ es el grado del polinomio. Demuestre o refute que:<br /><br />$\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k\dbinom{n+1}{k}P(k)=0$$ Cualquier duda con la notacion favor ocupar mensaje personal hacia mi, saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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