1º Maraton Olimpica 2009: Segunda Etapa - Foro fmat.cl

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1º Maraton Olimpica 2009: Segunda Etapa, rumbo a la final!!!!

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2009, 09:27 PM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Se les recuerda a los usuarios el uso de spoiler. Sin embargo, tu solucion es correcta (tal vez pudiste haber pulido un poco tu notacion, pero se entiende bien) Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2009, 05:47 PM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 03: En una galaxia muy lejana, llamada Utopia XXI, el sistema monetario consiste de billetes de 2 y 5 lads. Determine el menor valor de $N$ tal que para todo $n>N$, es posible comprar un producto de $n$ lads utilizando estos billetes.$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

gpipe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2009, 06:18 PM Publicado: #13
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 36 Registrado: 18-August 07 Miembro Nº: 8.943 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: N=3, notemos que es imposible para 3 (facil de verificar ya que no podemos usar billetes de 5). notemos que el 4 lo podemos hacer como $4=2+2(1)$, y el 5(2) es obio, para formar el 6 ,$6=4+2=2+2+2$, $7=5+2$ y asi vamos agregando 2 a (1) para formar los pares y sumando 2 a (2) para formar todos los impares mayores que 3, luego todos los numeros mayores que 3 se pueden escribir como suma de 2 y 5.$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2009, 07:01 PM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solucion correcta, se te otorgan los 10 puntos . Continuemos: $TEX: Problema 04: Sea ABCD un cuadrilátero que admite circunferencia inscrita y circunscrita. Sean S el punto de intersección de sus diagonales, I el incentro (centro de la circunferencia inscrita) del cuadrilátero y O el circuncentro (centro de la circunferencia circunscrita) del cuadrilátero<br /><br />Pruebe que, si dos de los puntos S, I, O coinciden, entonces ABCD es un cuadrado<br />$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2009, 07:37 PM Publicado: #15
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Se les recuerda a los competidores no responder la pregunta $TEX: $n$$ si respondieron correctamente la pregunta $TEX: $n-1$$ (por ese motivo le borre el post a gpipe) -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2009, 09:48 AM Publicado: #16
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Lo saque anoche pero tenia sueñito La imagen no tiene nada casi, pero en estos probs es mejor no dejarse llevar por la imagen, solo la puse pa dar idea Solucion problema 04: $TEX: Como el cuadrilatero es ciclico, demostrando que sus 4 lados son iguales terminamos pues los angulos opuestos en un rombo son iguales, y como suman 180 en este caso gracias al ciclico, deberian medir 90 cada uno. Ademas si demostramos que sus angulos internos valen todos 90, tambien terminamos pues es facil ver que el unico rectangulo con circunferencia inscrita es un cuadrado. Dividimos en casos:$ $TEX: Caso 1 S=I$ $TEX: $\angle DAC=\angle BAC = \angle BDC = \angle BDA = \angle BCA = \angle ACD$ En las igualdades usamos el hecho q S biseca a cada uno de los angulos internos y el hecho q es ciclico. Entonces $AD=DC$ , Analogmaente $DC=CB$, $CB=BA$ y $BA=AD$ y finalizamos$ $TEX: Caso 2 I=O$ $TEX: En la figura I y O equivalen a S. Como $SA=SD$ $\angle SAD = \angle SDA$ De la misma forma $\angle SAB=\angle SBA$ Ademas $\angle SAB=\angle SAD$ Entonces obtenemos $\angle SBA=\angle SAB=\angle SAD=\angle SDA$ De la misma manera podemos obtener esta igualdad: $\angle SBA=\angle SAB=\angle SAD=\angle SDA=\angle SDC=\angle SCD=\angle SCB=\angle SBC$ Como todos estos angulos suman 360 cada uno vale 45, entonces cada angulo interno del cuadrilatero vale 90 y finalizamos.$ $TEX: Caso 3 O=S$ $TEX: t$\angle SDA=\angle BDA=\angle ACB=\angle SCB$ Analogmaente $\angle SAD=\angle SBC$ ADemas como SA=SC porque S es circuncentro Se tiene que los triangulso SAD y SCB son congruentes de donde DA=BC. Analogamente DC=AB. Ademas como es inscrito $2AB=AB+DC=AD=BC=2AD$. Tenemos que $AB=AD$ y finalmente $AB=BC=CD=DA$ y acabamos$ Mensaje modificado por xD13G0x el Aug 30 2009, 11:19 AM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2009, 01:12 PM Publicado: #17
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Revisando, los analisis de los casos 1 y 3 son correctos. El caso 2 tengo una pequeña objeccion, ¿Por que colocas $TEX: $S$$ en vez de $TEX: $I,O$$ ? (Se entiende que es para estar mas acorde a tu dibujo, pero te recomendaria otra notacion). Sin embargo el resto se entiende, asi que te otorgo 9 ptos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2009, 03:36 PM Publicado: #18
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 05: Si $x,y,z\ge 1$, demuestre que:<br /><br />$4(xyz+1)\ge (x+1)(y+1)(z+1)$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

gpipe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2009, 04:07 PM Publicado: #19
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 36 Registrado: 18-August 07 Miembro Nº: 8.943 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: como $x,y,z\geq 1$ podemos escribir $x=a+1,y=b+1,z=c+1$ con $a,b,c\geq 0$ luego la desigualdad es equivalente a $4+4(1+a+b+c+ab+bc+ca+abc)=4((a+1)(b+1)(c+1)+1)\geq (a+2)(b+2)(c+2)=8+2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+abc$, que es equivalente a $2(ab+bc+ca)+3abc\geq 0$ que es obio$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2009, 04:14 PM Publicado: #20
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	, Se te otorgan los 10 ptos... (en verdad era simple este problema) Para los interesados, existe otra solucion adicional a este problema. Quien la encuentre, obtendra 7 puntos! observacion: Esto no vale para gpipe -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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