 desigualdad con min |
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Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Sector PreOlímpico > Desigualdades > Problemas Resueltos  |
 Aug 20 2009, 03:31 PM
Publicado:
#1
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Principiante Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9 Registrado: 31-July 09 Miembro Nº: 56.241 Nacionalidad:  Sexo:   |
Sean r,s,u,v números reales cualesquiera. Probar que:
![TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaciyBaiaacM<br />% gacaGGUbWaaiWaaeaacaaMc8UaamOCaiabgkHiTiaadohadaahaaWc<br />% beqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaaGPaVlaadohacqGHsislcaWG1bWaaW<br />% baaSqabeaacaaIYaaaaOGaaiilaiaaykW7caWG1bGaeyOeI0IaamOD<br />% amaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaacYcacaWG2bGaeyOeI0IaamOCam<br />% aaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaaykW7aiaawUhacaGL9baacqGHKjYO<br />% daWcaaqaaiaaigdaaeaacaaI0aaaaaaa!55B2!<br />\[<br />\min \left\{ {\,r - s^2 ,\,s - u^2 ,\,u - v^2 ,v - r^2 \,} \right\} \le \frac{1}{4}<br />\]<br />](./tex/4cf618545dc5ef1d58561050b624cc6b.png)
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Aug 20 2009, 04:40 PM
Publicado:
#2
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 Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 73 Registrado: 16-June 09 Desde: Santiasko Miembro Nº: 53.979 Nacionalidad: Sexo: |
![TEX: hay uno muy parecido en el IMO compendium bueno esta es mi solucion :<br /><br />Supongamos que los cuatro números % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOCaiabgk<br />% HiTiaadohadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaaGPaVlaadoha<br />% cqGHsislcaWG1bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaaiilaiaaykW7ca<br />% WG1bGaeyOeI0IaamODamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaabYcacaqG<br />% GaGaaeODaiaab2cacaqGYbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaa!4AB2!<br />\[<br />r - s^2 ,\,s - u^2 ,\,u - v^2 {\rm{, v - r}}^2 <br />\] son mayores estrictamente que 1/4. Entonces tenemos que % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOCaiabgk<br />% HiTiaadohadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkcaaMc8Uaam4C<br />% aiabgkHiTiaadwhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkcaaMc8<br />% UaamyDaiabgkHiTiaadAhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRaWk<br />% caWG2bGaeyOeI0IaamOCamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabg6da+m<br />% aalaaabaGaaGymaaqaaiaaisdaaaGaey4kaSYaaSaaaeaacaaIXaaa<br />% baGaaGinaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaI0aaaaiabgU<br />% caRmaalaaabaGaaGymaaqaaiaaisdaaaaaaa!54C3!<br />\[<br />r - s^2 + \,s - u^2 + \,u - v^2 + v - r^2 > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}<br />\] que es equivalente a % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGimaiabg6<br />% da+maabmaabaWaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaGOmaaaacqGHsislcaWG<br />% YbaacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSYaae<br />% WaaeaadaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaiabgkHiTiaadohaaiaa<br />% wIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkdaqadaqaam<br />% aalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaGaeyOeI0IaamyDaaGaayjkaiaa<br />% wMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRmaabmaabaWaaSaaae<br />% aacaaIXaaabaGaaGOmaaaacqGHsislcaWG2baacaGLOaGaayzkaaWa<br />% aWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaa!51EF!<br />\[<br />0 > \left( {\frac{1}{2} - r} \right)^2 + \left( {\frac{1}{2} - s} \right)^2 + \left( {\frac{1}{2} - u} \right)^2 + \left( {\frac{1}{2} - v} \right)^2 <br />\] que claramente es una contradiccion debido a que cualquier numero real elevado al cuadrado es mayor o igual a 0 <br />](./tex/f03b34db5ee82420067ccf9e36970faf.png) |
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Aug 20 2009, 04:59 PM
Publicado:
#3
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Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9 Registrado: 31-July 09 Miembro Nº: 56.241 Nacionalidad: Sexo: |
esta correcto, pero hay otra solucion igual de elegante que esta saludos
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