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Herausforderung 09

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2009, 01:29 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Sea $A$ una matriz de columnas linealmente independientes. Demuestre que $A^T A$ es no singular.$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

DressedToKill Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 22 2009, 03:41 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.818 Registrado: 21-December 06 Miembro Nº: 3.434	Una buena demostración para este problema usa las 2 siguientes desigualdades. ( $TEX: $r(X)$$ denota al rango de la matriz $TEX: $X$$ ). 1) $TEX: $r(AB) \le \min\{r(A), r(B) \}$$ 2) $TEX: $r(A) + r(B) - n \le r(AB)$$ . Lo pedido se concluye pues si $TEX: $A$$ es de $TEX: $m \times n$$ y las columnas de $TEX: $A$$ son LI, se sigue que $TEX: $r(A) = r(A^T) = n$$ . Luego, de 1) se tiene $TEX: $r(A^TA) \le n$$ y de 2) se tiene $TEX: $r(A^TA) \ge n$$ , es decir, $TEX: $r(A^TA)=n$$ , y como $TEX: $A^TA$$ es de $TEX: $n \times n$$ se concluye que es invertible. -------------------- http://www.youtube.com/watch?v=sp_WV91jx8E...feature=related

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 22 2009, 11:31 PM Publicado: #3
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(DressedToKill @ Aug 22 2009, 08:41 PM) Una buena demostración para este problema usa las 2 siguientes desigualdades. ( $TEX: $r(X)$$ denota al rango de la matriz $TEX: $X$$ ). 1) $TEX: $r(AB) \le \min\{r(A), r(B) \}$$ 2) $TEX: $r(A) + r(B) - n \le r(AB)$$ . Lo pedido se concluye pues si $TEX: $A$$ es de $TEX: $m \times n$$ y las columnas de $TEX: $A$$ son LI, se sigue que $TEX: $r(A) = r(A^T) = n$$ . Luego, de 1) se tiene $TEX: $r(A^TA) \le n$$ y de 2) se tiene $TEX: $r(A^TA) \ge n$$ , es decir, $TEX: $r(A^TA)=n$$ , y como $TEX: $A^TA$$ es de $TEX: $n \times n$$ se concluye que es invertible. Quedo linda la demostración.... Ejercicio robado para la ayudantia xD jajjajaa Saludos -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 4 2015, 09:02 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	Otra forma, probando el contrarrecíproco. $TEX: \noindent Supongamos que $A^TA$ es singular y que $A\neq\theta$ ($A=\theta$ es trivial). Luego, el sistema homogéneo $(A^TA)x=0$ tiene infinitas soluciones, sea $x_0$ una de estas soluciones no triviales, elegida de modo que $Ax_0\neq\theta$. Esto implica que $A^Tx=0$ es un sistema homogéneo con infinitas soluciones, ya que $Ax_0$ es una de ellas, y es no trivial. Luego, las filas de $A^T$ son LD, por lo que las columnas de $A$ son LD.$ -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

kaissa3 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2015, 01:02 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 5-May 15 Miembro Nº: 137.512 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Columnas de A L.I <=> rango(A)=n <=> A es sobreyectiva <=> A es invertible <=> A^t es invertible => (A^t)A es invertible

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2015, 03:06 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(kaissa3 @ May 5 2015, 01:02 PM) Columnas de A L.I <=> rango(A)=n <=> A es sobreyectiva <=> A es invertible <=> A^t es invertible => (A^t)A es invertible Si y solo si? -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2015, 03:44 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	CITA(C.F.Gauss @ May 4 2015, 11:02 PM) Otra forma, probando el contrarrecíproco. $TEX: \noindent Supongamos que $A^TA$ es singular. Luego $0=\det (A^T A)=\det (A^T)\det A=(\det A)^2$, lo que implica que $\det A=0$ y así, $A$ es singular, por lo que sus columnas son LD.$ Como defines el determinante de una matriz no cuadrada?

C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2015, 07:38 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	CITA(nmg1302 @ May 5 2015, 04:44 PM) Como defines el determinante de una matriz no cuadrada? Edité el post (no había leído que no necesariamente A era cuadrada) $TEX: Otra manera: sea $x\in \ker(A)$. Luego, $Ax=\theta$, de donde $(A^TA)x=A^T(Ax)=A^T\cdot \theta=\theta$, es decir, $x\in \ker(A^TA)$, y así $\ker(A)\subset \ker(A^TA)$. Por otro lado, sea $x\in \ker(A^TA)$. Luego, $A^TAx=\theta$, y<br />$$x^TA^TAx=x^T\cdot \theta=0\Rightarrow (Ax)^T(Ax)=0=\langle Ax,Ax\rangle$$<br />de donde, por propiedad del producto interior, se deduce que $Ax=\theta$, es decir, $x\in \ker(A)$. Así, $\ker(A^TA)\subset \ker(A)$, por lo que se tiene la igualdad $\ker(A)=\ker(A^TA)$\\<br />Sea $n$ el número de columnas de $A$. Entonces $A^TA$ también tiene $n$ columnas pues es cuadrada de orden $n$. Por lo tanto:<br />$$<br />n=N(A)+R(A)\Rightarrow R(A)=n-N(A)=n-N(A^TA)=R(A^TA)<br />$$<br />y como $R(A)=n$, se tiene que $R(A^TA)=n$. Es decir, $A^TA$ tiene igual rango que orden, por lo tanto es invertible.<br />$ -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

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