Propuesto 53 - Foro fmat.cl

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Propuesto 53, Forma Cerrada, Función Zeta de Riemann

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Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 7 2009, 11:40 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />\[<br />{\text{Evaluar }}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\tfrac{{\zeta \left( {2n} \right)}}<br />{{n\left( {n + 1} \right)}}} {\text{ en forma cerrada}}{\text{.}}<br />\]<br />$ El primer y segundo enlaces podrían orientarlos un poco -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Sephiroth99 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 14 2010, 01:07 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.313 Registrado: 28-June 07 Miembro Nº: 7.123 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Se usara esto en 1 y esto en 2 $TEX: $$\sum\limits_{k=2}^{\infty }{\frac{\left( -x \right)^{k}\zeta \left( k \right)}{k}}=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\frac{\zeta \left( 2k \right)}{2k}}x^{2k}-\underbrace{\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\frac{x^{2k+1}\zeta \left( 2k+1 \right)}{2k+1}}}_{\left\{ 1 \right\}}=\ln \left( \Gamma \left( x+1 \right) \right)+\gamma x$$$ $TEX: $$\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\frac{\zeta \left( 2k \right)}{k}}x^{2k}=\ln \left( \frac{\pi x}{\sin \left( \pi x \right)} \right)\to \sum\limits_{k=1}^{\infty }{\frac{\zeta \left( 2k \right)}{k\left( k+1 \right)}}=\int_{0}^{1}{\ln \left( \frac{\pi \sqrt{x}}{\sin \left( \pi \sqrt{x} \right)} \right)dx}$$$ $TEX: $$\underbrace{=}_{\pi \sqrt{x}=u}\frac{2}{\pi ^{2}}\left[ \int_{0}^{\pi }{u\ln \left( u \right)du}-\int_{0}^{\pi }{u\ln \left( \sin \left( u \right) \right)du} \right]=\ln \left( \pi \right)-\frac{1}{2}-\frac{2}{\pi ^{2}}\int_{0}^{\pi }{u\ln \left( \sin \left( u \right) \right)du}$$$ $TEX: $$=\ln \left( \pi \right)-\frac{1}{2}-\frac{2}{\pi ^{2}}\int_{0}^{\pi }{u\ln \left( \sin \left( u \right) \right)du}=\ln \left( \pi \right)-\frac{1}{2}-2\underbrace{\int_{0}^{1}{t\ln \left( \sin \left( t\pi \right) \right)dt}}_{I}$$$ $TEX: $$I=\underbrace{\int_{0}^{\frac{1}{2}}{t\ln \left( \sin \left( t\pi \right) \right)dt}}_{I_{1}}+\underbrace{\int_{\frac{1}{2}}^{1}{t\ln \left( \sin \left( t\pi \right) \right)dt}}_{I_{2}}$$$ $TEX: $$I_{2}=\int_{\frac{1}{2}}^{1}{t\ln \left( \sin \left( t\pi \right) \right)dt}\underbrace{=}_{t=x+\frac{1}{2}}\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x\ln \left( \cos \left( x\pi \right) \right)dx}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\ln \left( \cos \left( x\pi \right) \right)dx}$$$ $TEX: $$I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{1}{2}}{2x\left[ \ln \left( \sin \left( 2x\pi \right) \right)-\ln 2 \right]dx}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\ln \left( \cos \left( \frac{2x\pi }{2} \right) \right)dx}$$$ $TEX: $$4I=\int_{0}^{1}{u\ln \left( \sin \left( u\pi \right) \right)du}+\int_{0}^{1}{\ln \left( \cos \left( \frac{u\pi }{2} \right) \right)du-}\frac{\ln 2}{2}$$$ $TEX: $$3I=\int_{0}^{1}{\ln \left( \cos \left( \frac{u\pi }{2} \right) \right)du}-\frac{\ln 2}{2}\underbrace{=}_{u=1-\frac{2y}{\pi }}\frac{2}{\pi }\underbrace{\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\ln \left( \sin y \right)dy}}_{\left\{ 2 \right\}\frac{-\pi \ln 2}{2}}-\frac{\ln 2}{2}=-\frac{3}{2}\ln 2$$$ $TEX: $$\Rightarrow -2I=\ln 2\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{\infty }{\frac{\zeta \left( 2k \right)}{k\left( k+1 \right)}}=\ln \left( 2\pi \right)-\frac{1}{2}$$$ -------------------- Hay dos cosas infinitas: el Universo y la estupidez humana. Y del Universo no estoy seguro

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 16 2010, 10:38 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Veo bastante dedicación y entusiasmo en tus respuestas, muy bien. Pasar a resueltos. -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

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