Desafío de funciones Opciones

[Rrrto2005]

Hola a todos. Es es el problema
Encontrar todas las funciones f : R a R tal que:
f (x*f(x) + f(y)) = (f (x))^2 + y valga para todos los x e y
Hay alguna ingeniosa de hacerlo sin tener que ir probando con funciones cualquieras? Es un problema de olimpidas así que me imagino que habrá alguna forma ingeniosa de sacar la respuesta.

[~Fatal_Collapse~]

Hola Rrrto2005. Primero te sugiero que aprendas a ocupar LaTeX ( se ve mas bonito no??)

Segundo debo reconocer que este problema se parece al p2 de la Olimpiada Internacional de Matematicas de 1992, POR LO TANTO NO HAY QUE CONFIARSE DEL PROBLEMA

Probar con funciones cualesquiera NO sirve, pues asi no demuestras que son todas (pueden haber mas funciones no triviales).

Bueno, hay un link aca en fmat con tips para este tipo de ec funcionales, http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=48176.

Saludos

[Rrrto2005]

Hola Kain. gracias por el link, ya me imaginaba que tendría que haber un método para hacer estos tipos de ejericio, aunque varié ese método según cada caso. En todo caso, ojalá que me ayudes a resolver este problema, es un poco diferente al del link. En el link llegaste a igualar a F(x) = 0 porque era la única salidad para no caer en una contradicción, pero creo que en este problema es poco diferente. Saludos!

[Rurouni Kenshin]

Hola a todos. Es es el problema
Encontrar todas las funciones f : R a R tal que:
f (x*f(x) + f(y)) = (f (x))^2 + y valga para todos los x e y
Hay alguna ingeniosa de hacerlo sin tener que ir probando con funciones cualquieras? Es un problema de olimpidas así que me imagino que habrá alguna forma ingeniosa de sacar la respuesta.

En realidad estos problemas se caracterizan por usar poca materia y mucho ingenio (algunas veces usan involuciones o puntos fijos, pero en general salen con argumentos simples y creativos).

El Problema



Solución

Iremos por pasos, para que la explicación sea mas simple
Por simplicidad, llamemos .

Paso 1 Probar que y que

• Usando con , tendremos que , lo cual permite concluir (reemplazando ) que .
  
  
• Reemplazando (o sea ) en , se tendra que (y por lo cual forzosamente ).

Paso 2: Probar que , y por ende o

• Usando y el Paso 1, cambiando en la condición inicial el por , se tendrá que
  
  (y comparandola con , tendremos que )
  
  
• De lo anterior, si usamos , tendremos que , o sea o

Paso 3 Probar que

• Para , es directo del Paso 1
  
  
• Asumiendo y usando dos veces que , se tiene que:
  
  

Paso 4 Las unicas funciones que cumplen lo pedido, son y .

• En el caso que , se concluye que , para cualquier . Analogamente, si se concluye que para cualquier .

Saludos

PD: No es posible a priori concluir el Paso 4 a partir del Paso 2, pues esa condicion consideraria una funcion que, por ejemplo, cumpla que y (esta sutileza cuesta verla, de hecho a mas de alguno no le quedara claro aun, pero piensenla bien y lo notaran). Como anecdota, esta sutileza tambien ocurrio en la IMO 2008 (y a mas de alguno se le paso de largo este detalle).

[snw]

Bueno, si quieres aprender más te recomiendo que visites este link

Ahi hay varios tips para resolver estas ecuaciones y muchos ejercicios resueltos (:


saludos

[Jorgeston]

Este problema se había propuesto en la antigua y nostálgica killer maratón:

http://www.fmat.cl/index.php?s=&showto...ost&p=21834

Mensaje modificado por Jorgeston el Aug 3 2009, 03:34 PM

[Rurouni Kenshin]

Este problema se había propuesto en la antigua y nostálgica killer maratón:

http://www.fmat.cl/index.php?s=&showto...ost&p=21834

Pero la solución que ahi aparece esta incorrecta por la misma observación que hice en mi respuesta (sino concluiria de modo análogo del Paso 2 al Paso 4).

Saludos

[Rrrto2005]

Hola. tengo una duda más. ojalá que me ayuden a explicarlo. Según la respuesta del link, al problema dice que ( voy a utilizar las mismas variables):
(*)²
Si Y= ²
Significa que para todo x:
²
Es decir: desde ahora y es una función de x.
Luego no se puede usar (*) para afirmar que
es una raiz de F para algún K
Sino que debe decirse que:
²) es una raíz de F
para algún K.
O no?

[~Fatal_Collapse~]

Hola. Disculpas la demora en contestar.

Fijate que NO existe un procedimiento especifico que sirva pa todas las ec funcionales, es mas, el procedimiento aplicado al problema del link no es muy util en tu problema, pues son problemas muy distintos. Solo cite el link para que veas los tips que di ahi, por ejemplo, probar inyectividad,...,etc.

Ademas el procedimiento de Kenshin es el adecuado pa este problema , pero para otro quizas no sirva. Como menciono Kenshin lo k mas necesitas es ingenio y buenas ideas

Saludos