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1º Maraton Olimpica 2009, Lectura Obligatoria

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 4 2009, 07:15 PM Publicado: #41
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Y ahora viene el hint Considere las sumas de puntos consecutivos, es decir, si $TEX: $(a_0,a_1,...,a_{10})$$ son la permutacion de los digitos del 1 al 10, las sumas pueden ser $TEX: $a_0+a_1+a_2, a_1+a_2+a_3$$ , etc. Que pasará con el promedio de las sumas anteriormente descritas? pueden ser todas las sumas iguales ? y si alguna difiere.. que pasaría ? saludos -------------------- blep

ojotas Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 4 2009, 07:23 PM Publicado: #42
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 262 Registrado: 12-July 09 Desde: mi ksa Miembro Nº: 55.521 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Ahora suponer que los numeros suman menos que 17. Tenemos:\\$\begin{aligned}a_0+a_1+a_2&<17 \\a_1+a_2+a_3&<17 \\\ldots \\a_9+a_{10}+a_1&<17 \\\end{aligned}$ \\Tomamos algunas desigualdades de forma conveniente:\\<br />$\begin{aligned}<br />a_1+a_2+a_3&<17 \\a_4+a_5+a_6&<17 \\a_8+a_9+a_{10}&<17 \\<br />\end{aligned}$<br /><br />Sumamos y queda $a_1+a_2+\ldots+a_9+a_{10}<55$. Por lo que $a_1+a_2+\ldots+a_9+a_{10}=55<55$, en donde claramente llegamos a una contradiccion, por lo que alguna de las sumas debe ser mayor a 17 para cumplir la desigualdad. ($55<55+k, k \in{\mathbb{N}}$ )$ $TEX: <br /> \noindent b)Ahora suponer que los numeros suman mas que 17. Tenemos:\\<br />$\begin{aligned}<br />a_0+a_1+a_2&>17 \\<br />a_1+a_2+a_3&>17 \\<br />\ldots \\<br />a_9+a_{10}+a_1&>17 \\<br />\end{aligned}$ \\<br />Tomamos algunas desigualdades de forma conveniente:\\<br />$\begin{aligned}<br />a_1+a_2+a_3&>17 \\<br />a_4+a_5+a_6&>17 \\<br />a_8+a_9+a_{10}&>17 \\<br />\end{aligned}$<br /><br />Sumamos y queda $a_1+a_2+\ldots+a_9+a_{10}>55$. Por lo que $a_1+a_2+\ldots+a_9+a_{10}=55>55$, en donde claramente llegamos a una contradiccion, por lo que alguna de las sumas debe ser menor que 17 para cumplir la desigualdad. ($55>55-k, k \in{\mathbb{N}}$)<br />$ -------------------- PONGAN AL COLEGIO CORDILLERA DE LAS CCONDES PARA REGISTRARSE

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 4 2009, 07:25 PM Publicado: #43
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(ojotas @ Aug 4 2009, 09:21 PM) puse una rpta nueva en mi spoiler anterior que paso? la cambie un poco Lo que pasa, es que tu partes de la premisa de que lo que hay que demostrar es cierto con lo cual siempre llegarás a algo verdadero. La idea es demostrar porque tiene que ser verdadero ahhh, por cierto cabros, hemos decidido lo siguiente: Si alguno edita sus soluciones, porfa no posteen aqui xD, mejor mandenos un mensaje personal y nos encargamos de revisar saludos ^^ -------------------- blep

ojotas Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 4 2009, 07:26 PM Publicado: #44
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 262 Registrado: 12-July 09 Desde: mi ksa Miembro Nº: 55.521 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	pero llego a contraddiccion por lo que siempre va a haber una suma mayor a 17, lo que viene dado por que 55>55 es imposible queda demostrado que ai una suma mayor a la pedida Mensaje modificado por ojotas el Aug 4 2009, 07:32 PM -------------------- PONGAN AL COLEGIO CORDILLERA DE LAS CCONDES PARA REGISTRARSE

ojotas Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 4 2009, 07:38 PM Publicado: #45
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 262 Registrado: 12-July 09 Desde: mi ksa Miembro Nº: 55.521 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	parto de esta premisa por eso que asumo que es verdadero $TEX: sean los grupos $a_0+a_1+a_2$ , $a_1+a_2+a_3$, $a_2+a_3+a_4$, $a_3+a_4+a_5$.... $a_9+a_10 +a_0 +a_1$<br /><br />siendo que cada grupo debe ser $\le 17$ . podemos decir perfectamente que:<br /><br /> $a_0+a_1+a_2\le 17$<br />: $a_1+a_2+a_3\le 17$<br />.<br />.<br />.<br /> $a_9+a_0+a_1\le 17$<br /><br />que al sumarse darian $3(a_0+a_a+....a_10)\le 187$<br /><br />luego.<br /><br /> $a_0+a_1+a_2....a_9\le 55.......$<br /><br />y siendo $a_0,a_1,...,a_9,a_10= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$<br />comprobamos que<br /><br /> $55\le 63,3333333$<br /><br />por lo que existe, com no una suma que sume 17$ Mensaje modificado por ojotas el Aug 4 2009, 07:54 PM -------------------- PONGAN AL COLEGIO CORDILLERA DE LAS CCONDES PARA REGISTRARSE

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 4 2009, 07:44 PM Publicado: #46
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{\mathcal{P}_3}$. Sea $a_1, a_2, ..., a_{10}$ una permutación de los números del 1 al 10, y consideremos las sumas $a_1+a_2+a_3,a_2+a_3+a_4, a_{10}+a_1+a_2$, siendo todos los tríos posibles de puntos consecutivos en la circunferencia. Sumando todas las sumas tenemos que su resultado es $3(a_1+...+a_{10})=165$, es decir podemos interpretar a cada trío como un casillero en el que se quieren distribuir 165 elementos, de manera que en cada casillero halla a lo más 16 (para contradecir la premisa que se pide demostrar). Luego se deben distribuir 165 elementos en 10 casilleros, tal que ninguno tenga más de 16 elementos, por Principio de los Casilleros se tiene que debe existir al menos un casillero que tenga más de 16 elementos, es decir, a lo menos 17, por lo que la suma de al menos uno de estos tríos debe ser mayor o igual a 17 sin importar la asosiación de los números a los puntos.$ Espero sea la solución, gracias a Dios pude pensar en algo que me resultó más "atractivo" y utilizando un bonito Principio. Saludines. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 4 2009, 07:47 PM Publicado: #47
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	A partir del hint de las permutaciones, las posibles sumas son: $TEX: $a_1+a_2+a_3$$ $TEX: $a_2+a_3+a_4$$ $TEX: $a_10+a_1+a_2$$ son 10 sumas en total, y sumandolas todas queda: $TEX: $3* (a_1+a_2+...+a_10) = 355=165$$ al dividir esta ecuacion por 10, queda el promedio (P) de estas sumas, que es: $TEX: $P= 16,5$$ pero resulta que todas estas sumas son distintas, por lo tanto hay sumas mayoresy sumas menores que este promedio, por lo tanto, existe un trío tal que su suma es mayor o igual a 17 [/tex] No se que hacer, en realidad escribi 165 y 16,5 que por error de tipeo habia puesto 135 y 13,5, pero no se cambian :S Mensaje modificado por Kain #13* el Aug 4 2009, 08:01 PM -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 4 2009, 08:00 PM Publicado: #48
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Yap, estamos en condiciones de revisar las soluciones: ojotas: La solucion sigue siendo la misma. Tal como te dijo mi colega snw, es incorrecta pq asumes lo que hay que demostrar. Ademas se sugiere que a futuro cambies el translator de tu mathtype makmat: Solucion correcta . Este principio del palomar (o de los casilleros) es una tecnica poderosisima, siempre tenganla en cuenta. Saludos 5 ptos Hamon: Vi el error de tipeo, y tu solucion tbn es correcta pero similar a la de makmat, asi que se le asignara 1 punto -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 4 2009, 08:03 PM Publicado: #49
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	felicitaciones makmat, ingeniosa solucion no se me habria ocurrido usar el principio del palomar -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

ojotas Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 4 2009, 08:04 PM Publicado: #50
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 262 Registrado: 12-July 09 Desde: mi ksa Miembro Nº: 55.521 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	felicitaciones -------------------- PONGAN AL COLEGIO CORDILLERA DE LAS CCONDES PARA REGISTRARSE

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