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1º Maraton Olimpica 2009, Lectura Obligatoria

ojotas Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 3 2009, 09:51 PM Publicado: #31
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 262 Registrado: 12-July 09 Desde: mi ksa Miembro Nº: 55.521 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	AHORA SI AQUI VAN MIS 7 EDITED LEANLO JUECES LA TERCERA ES LA VENCIDA ESTA ES LEANLA JUECES $TEX: Ahora suponer que los numeros suman menos que 17. Tenemos:\\$\begin{aligned}a_0+a_1+a_2&<17 \\a_1+a_2+a_3&<17 \\\ldots \\a_9+a_{10}+a_1&<17 \\\end{aligned}$ \\Tomamos algunas desigualdades de forma conveniente:\\<br />$\begin{aligned}<br />a_1+a_2+a_3&<17 \\a_4+a_5+a_6&<17 \\a_8+a_9+a_{10}&<17 \\<br />\end{aligned}$<br /><br />Sumamos y queda $a_1+a_2+\ldots+a_9+a_{10}<55$. Por lo que $a_1+a_2+\ldots+a_9+a_{10}=55<55$, en donde claramente llegamos a una contradiccion, por lo que alguna de las sumas debe ser mayor a 17 para cumplir la desigualdad. ($55<55+k, k \in{\mathbb{N}}$ )$ $TEX: <br /> \noindent b)Ahora suponer que los numeros suman mas que 17. Tenemos:\\<br />$\begin{aligned}<br />a_0+a_1+a_2&>17 \\<br />a_1+a_2+a_3&>17 \\<br />\ldots \\<br />a_9+a_{10}+a_1&>17 \\<br />\end{aligned}$ \\<br />Tomamos algunas desigualdades de forma conveniente:\\<br />$\begin{aligned}<br />a_1+a_2+a_3&>17 \\<br />a_4+a_5+a_6&>17 \\<br />a_8+a_9+a_{10}&>17 \\<br />\end{aligned}$<br /><br />Sumamos y queda $a_1+a_2+\ldots+a_9+a_{10}>55$. Por lo que $a_1+a_2+\ldots+a_9+a_{10}=55>55$, en donde claramente llegamos a una contradiccion, por lo que alguna de las sumas debe ser menor que 17 para cumplir la desigualdad. ($55>55-k, k \in{\mathbb{N}}$)<br />$ Mensaje modificado por ojotas el Aug 4 2009, 03:58 PM -------------------- PONGAN AL COLEGIO CORDILLERA DE LAS CCONDES PARA REGISTRARSE

gabriel_gemh Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 3 2009, 09:53 PM Publicado: #32
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 74 Registrado: 4-May 08 Desde: Ancud Miembro Nº: 22.124 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Lo que sucede es que por simple inspeccion se deduce que los unicos números entre 1 y 10 que suman igual o mayor que 17 son: 7+10 8+9 8+10 10+9 (y conmutando obviamente) Son cuatro, sin embargo cada uno de éstos números (7,8,9 y 10) al estar la condición de ser consecutivos pueden estar a lo más en dos sumas (Nótese que el 10 está en 3 de ellas). Por tanto el 7 estaría siempre al lado del 10, y al lado del 10 estarían el 8 y el 9 en consecutivamente en cualquier orden (9-8 ú 8-9), mientras que el orden de los demás números es Irrelevante. --------------------

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 3 2009, 09:59 PM Publicado: #33
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La solucion de ojotas es INCORRECTA. Se señalo explicitamente numeros del 1 al 10. La de gabriel_gemh es INCORRECTA. Debes ser capaz de demostrar para todos, por muy absurdos o sencillos que sean -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 3 2009, 10:03 PM Publicado: #34
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	4. parte b) $TEX: Problema 4: a) Si $0<x<1$, demuestre que $x(1-x)\leq \dfrac{1}{4}$ y determine si se alcanza o no la igualdad.<br /><br />b)Sean $x_1, x_2,...,x_n\in (0,1)$. Demuestre que al menos uno de los productos $P_1=x_1x_2...x_n$ o $P_2=(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_n)$ es menor o igual que $2^{-n}$$ [/quote] $TEX: para todo $x_i$, se cumple que $x_i\leq(1-x_i)$$ Por lo tanto: $TEX: $x_1\leq(1-x_1)$$ $TEX: $x_2\leq(1-x_2)$$ ... $TEX: $x_n\leq(1-x_n)$$ $TEX: multiplicando todas estas desigualdades, obtenemos que:<br />$x_1x_2...x_n\leq(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_n)$<br />Que es lo mismo que: $P_1 \leq P_2$$ Además. podemos multiplicar ambos productos, así: $TEX: $P_1P_2=x_1(1-x_1)x_2(1-x_2)...x_n(1-x_n)\leq(\dfrac{1}{4})^n = 2^{-2n}=2^{-n}2^{-n}$$ Y como sabemos que P2 es mayor o igual que P1, entonces uno de estos factores es mayor o igual a $TEX: $2^{-n}$, y el otro menor o igual que $2^{-n}$, demostrando lo pedido.$ $TEX: cabe destacar que la igualdad se cumple sólo cuando todos los $x_i= 1/2$$ PD: se me cayo la coneccion , espere caleta pa postearlo ojala nadie lo haya posteado -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos*

ojotas Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 3 2009, 10:13 PM Publicado: #35
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 262 Registrado: 12-July 09 Desde: mi ksa Miembro Nº: 55.521 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	mi solucion porfavoor leanla la 123824973 es la vencida -------------------- PONGAN AL COLEGIO CORDILLERA DE LAS CCONDES PARA REGISTRARSE

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 3 2009, 10:19 PM Publicado: #36
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Hamon @ Aug 4 2009, 12:03 AM) 4. parte b) $TEX: Problema 4: a) Si $0<x<1$, demuestre que $x(1-x)\leq \dfrac{1}{4}$ y determine si se alcanza o no la igualdad.<br /><br />b)Sean $x_1, x_2,...,x_n\in (0,1)$. Demuestre que al menos uno de los productos $P_1=x_1x_2...x_n$ o $P_2=(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_n)$ es menor o igual que $2^{-n}$$ $TEX: para todo $x_i$, se cumple que $x_i\leq(1-x_i)$$ Por lo tanto: $TEX: $x_1\leq(1-x_1)$$ $TEX: $x_2\leq(1-x_2)$$ ... $TEX: $x_n\leq(1-x_n)$$ $TEX: multiplicando todas estas desigualdades, obtenemos que:<br />$x_1x_2...x_n\leq(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_n)$<br />Que es lo mismo que: $P_1 \leq P_2$$ Además. podemos multiplicar ambos productos, así: $TEX: $P_1P_2=x_1(1-x_1)x_2(1-x_2)...x_n(1-x_n)\leq(\dfrac{1}{4})^n = 2^{-2n}=2^{-n}*2^{-n}$$ Y como sabemos que P2 es mayor o igual que P1, entonces uno de estos factores es mayor o igual a $TEX: $2^{-n}$, y el otro menor o igual que $2^{-n}$, demostrando lo pedido.$ $TEX: cabe destacar que la igualdad se cumple sólo cuando todos los $x_i= 1/2$$ PD: se me cayo la coneccion , espere caleta pa postearlo ojala nadie lo haya posteado La solucion está incorrecta, solo basta verificar que pasa si $TEX: $ x_i>\dfrac{1}{2}$$ . -------------------- blep

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 3 2009, 10:22 PM Publicado: #37
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed {\mathcal{P}_4}$. Considere AM-GM sobre los números $x$ y $(1-x)$, ambos reales positivos$ : $TEX: $\dfrac {x+(1-x)}{2}\ge \sqrt{x(1-x)} \implies \dfrac{1}{2} \ge \sqrt{x(1-x)} \implies \dfrac{1}{4} \ge x(1-x)$. Con la igualdad $\iff x=1-x \implies x=\dfrac{1}{2}$ .$ Saludines , si es correcta vale 2 puntos? que Dios los bendiga Mensaje modificado por makmat el Aug 3 2009, 10:25 PM -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Aheit Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 3 2009, 10:25 PM Publicado: #38
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 143 Registrado: 6-February 08 Desde: desde aquí Miembro Nº: 15.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Tomemos un trio cualquiera}} \hfill \\<br /> n,{\text{ }}n + x,{\text{ }}n + y \hfill \\<br /> {\text{con }}x < y{\text{ ademas }}x,y \ne 0 \hfill \\<br /> {\text{Negemos la tesis}} \hfill \\<br /> n + n + x + n + y \geqslant 17 \hfill \\<br /> {\text{Entonces}} \hfill \\<br /> 3n + x + y < 17 \hfill \\<br /> {\text{Pero tenemos los siguientes casos}} \hfill \\<br /> i{\text{) 17 = 3}}{\text{5 + 2}} \hfill \\<br /> \therefore {\text{ }}n = 5,{\text{ }}x + y = 1 \Rightarrow \Leftarrow \hfill \\<br /> ii)17 = 34 + 5 \hfill \\<br /> \therefore n = 4,x + y = 5 \hfill \\<br /> {\text{caso extremo x = 1 y = 4 se forman los trios (4}}{\text{,5}}{\text{,8) 4 + 5 + 8 = 17}} \prec {\text{17 }} \Rightarrow \Leftarrow \hfill \\<br /> iii)17 = 33 + 8 \hfill \\<br /> {\text{caso extremo x = 1 y = 7 se forman los trios (3}}{\text{,4}}{\text{,10) 3 + 4 + 10 = 17}} \prec {\text{17 }} \Rightarrow \Leftarrow \hfill \\<br /> iiii)17 = 32 + 11 \hfill \\<br /> {\text{caso extremo x = 1 y = 10 se forman los trios (2}}{\text{,3}}{\text{,13) n + y = 13}} \prec {\text{10 }} \Rightarrow \Leftarrow \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Como no podemos negar la tesis entonces la tesis es cierta}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ Mensaje modificado por Aheit* el Aug 3 2009, 10:41 PM -------------------- \|Ente Inmiscible\|

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 3 2009, 10:35 PM Publicado: #39
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	erselente, solucion correcta para la parte a del problema 4 por makmat. Merece los 2 puntos Ojo, la tecnica que uso makmat es conocida como desigualdad de las medias aritmetica-geometrica, aparece en desigualdades y es muuuy util, se ocupo pal p5 clasificatoria nivel mayor 2007. para ojotas aun sigue igual tu solucion para Aheit, no enteder solucion mejora tu redaccion pa poder entender Saludines Aviso: A las 12 el snw y yo abandonaremos este topic. Pueden publicar soluciones alternativas a los otros problemas, mañana a las 8 PM volvemos a retomar el topic. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 4 2009, 07:10 PM Publicado: #40
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Comenzaremos la segunda jornada de la maraton Dado que el problema 3 sigue pendiente; lo reposteare!!!!! $TEX: Problema 3: Considere 10 puntos sobre una circunferencia. A cada punto le asignamos un natural entre el 1 y el $10$, de tal forma que los numeros asignados a cada punto sean distintos. Demuestre que existen 3 puntos consecutivos tales que la suma de los numeros asignados es al menos 17.$ El problema valdra 5 ptos, debido a que nos vimos en la necesidad de darles el siguiente HINTAZO, que les entregara snw Cuando finalizen el problema seguiremos con los problemas -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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