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1º Maraton Olimpica 2009, Lectura Obligatoria

{ .HERCULES. } Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2009, 09:55 PM Publicado: #161
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 24 Registrado: 1-April 06 Desde: Estacion Central , Santiago Miembro Nº: 744 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: Primero trazaremos la bicectriz del angulo AOB , y uniremos el punto M con cualquier punto X de la bicectriz , luego trazamos un angulo de 45 grados hasta que corte OA , en N .<br /><br /> Entonces si demostramos que el angulo MNX es de 45 grados , al hacer el cuadrado MNPQ , X seria el centro del cuadrado . pero rapidamente notamos que esto es cierto ya que el cuadrilatero NOMX es ciclico y el angulo XOM es de 45 , por lo tanto el angulo MNX tambien lo es . <br /><br /><br /> De esto concluimos que el lugar geometrico del centro de cualquier cuadrado que cumpla los requisitos es la bisectriz del angulo AOB <!--SPOILER DIV--></div><!--SPOILER DIV-->$ Dibujo.jpg ( 10.63k ) Número de descargas: 1 Mensaje modificado por { .HERCULES. } el Aug 17 2009, 10:09 PM -------------------- Si puedes bromear sobre algo muy importante , es porque haz alcanzado la libertad

Membrillo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 18 2009, 06:44 PM Publicado: #162
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 8-October 08 Miembro Nº: 35.674 Nacionalidad: Sexo:	CITA(pelao_malo @ Aug 3 2009, 08:11 PM) oli primero , gracias a vaguitas por dejarm eentrar ahora la solusion $TEX: \noindent Trazamos la altura desde $B$ hacia AC ,cayendo en $K$ (no lo puse pero imagine un $K$ xD). Entonces como el triangulo $BKC$ que se forma a la derecha de la figura es rectangulo, y $M$ es punto medio, tenemos que $MC=MB=MK$. Como el triangulo $ABK$ tiene angulos $45,45,90$ entonces es isoceles y $AK=BK$. Como el trnaigulo $BKM$ tiene angulos $60,60,60$ entonce $BK=MK$. De eso entonces $AK=MK$ entonces $\angle MAK=\angle AMK=15$ ya que $\angle AKM=180-\angle MKC=180-30=150$. Entonces $\angle AMB=45-15=30$.$ una preguntita... estaba mirando el problema, muy ingeniosa la solución, pero un ángulo de 30° no es un poco dificil? digo, eso me dice que AM y AC son paralelas, lo cual es imposible en un triangulo. Puede ser un error mio, de ser así me avisan, y me explican porqué, siempre es bueno aprender algo nuevo yo creo que toy equivocado, pero me tiraria por 45 (eso me dio al trazar la altura del lado CB, fuera del triangulo, y hacer una que otra cosa loca) saludos Mensaje modificado por Membrillo el Aug 18 2009, 06:53 PM

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 18 2009, 07:43 PM Publicado: #163
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Membrillo @ Aug 18 2009, 07:44 PM) una preguntita... estaba mirando el problema, muy ingeniosa la solución, pero un ángulo de 30° no es un poco dificil? digo, eso me dice que AM y AC son paralelas, lo cual es imposible en un triangulo. Puede ser un error mio, de ser así me avisan, y me explican porqué, siempre es bueno aprender algo nuevo yo creo que toy equivocado, pero me tiraria por 45 (eso me dio al trazar la altura del lado CB, fuera del triangulo, y hacer una que otra cosa loca) saludos Efectivamente, la respuesta es 45º. Por ese mismo motivo solo le puse 6 puntos por el errorcillo de tipeo, pero al parecer nuestro amigo pelao no lo edito xD. Al Hercules (buen hijo de ZeUs ), te sugiero que mejores tu redaccion para que nuestros lectores entiendan, y detalles un poco mas tu procedimiento, por ejemplo justifiques la ciclicidad de MXNO y discutas si para cada punto del LG existe dicho cuadrado que satisface las condiciones. Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2009, 09:27 PM Publicado: #164
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	goril.jpg ( 10.23k ) Número de descargas: 0 $TEX: Sea $K$ el centro del cuadrado $MNPQ$, note que $\angle MKN=90°$ y que $\triangle MKN$ es isósceles rectángulo, luego $MONK$ es cíclico ($\angle MON + \angle NKM = 180°$) $\implies \angle KMN = \angle KON = 45°$. De esto podemos concluir que $K$ se encuentra en la bisectriz del $\angle AOB$ a la que llamaremos $\lambda$, luego $LG(K) \in \lambda$.$ goril_2.jpg ( 7.91k ) Número de descargas: 0 $TEX: Ahora probaremos que $\lambda$ es el $LG$ buscado. Sea $K$ un punto cualquiera en $\lambda$ (ver imagen 2), ahora bien trazemos la recta $\mu$ que es la ortogonal a $OA$ desde $K$ y la recta $\nu$ que es la ortogonal a $OB$ desde $K$, definiéndose los puntos $M$ y $N$ en la figura. Luego note que $\angle MOK= \angle NOK \implies \triangle MOK \equiv \triangle NOK$ (por $ALA$), luego $NOMK$ es cuadrado.$ goril_3.jpg ( 9.85k ) Número de descargas: 0 $TEX: Podemos ver que $M$ Y $N$ definen un cuadrado con centro $K$, pero no todos los cuadrados que cumplen con el enunciado tienen el ángulo $\angle MOK=90°$, entonces trácese una recta que pase por $K$ y defina el punto $M'$ en $AO$, luego defínase un punto $N' \in BO$, tal que $\angle M'KN'=90°$. Sea $\delta = \angle MM'K$ y $\gamma=\angle MKM'$, luego por unos despejes de ángulos simples tenemos que $\angle NKN'= \gamma \implies \angle KN'N=\delta$ y por $ALA$ ($MK=NK$) $\implies \triangle MKM' \equiv \triangle NKN'$, luego $M'K=N'K$. De esto último obtenemos que podemos trazar infinitos cuadrados cuyos centros estén en $K$, de manera que sus vértices $M$ y $N$ estén sobre $AO$ y $OB$ respectivamente.$ $TEX: Juntando el hecho de que todos los $K$ que cumplan con el enunciado deben estar en $\lambda$ y que para todo punto en $\lambda$ (puntos dentro del ángulo $AOB$ claro), se tiene que existen infinitos cuadrados con centro en uno de estos puntos, entonces finalmente que $LG(K)=\lambda$.$ Revisen que tal y que Dios los acompañe el sábado, estoy nervioso :$, personalmennte necesito la guía del Señor. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2009, 09:50 PM Publicado: #165
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solucion correcta, 7 puntos para makmat Que Dios nos guie a todos el sabado!!!, ojala que tengamos buenas nuevas en octubre -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2009, 09:51 PM Publicado: #166
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kain #13 @ Aug 20 2009, 11:50 PM) Solucion correcta, 7 puntos para makmat Que Dios nos guie a todos el sabado!!!, ojala que tengamos buenas nuevas en octubre EN octubre se daran los resultados, pero parece que la Olimpiada es en Noviembre. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2009, 10:13 PM Publicado: #167
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 26: Un curso de 30 alumnos rindio un examen de 6 problemas. Se sabe que cada problema fue resuelto correctamente por al menos 18 alumnos. <br /><br />Demuestre que existen 2 alumnos tales que uno de ellos resolvio correctamente los problemas que el otro no pudo resolver.$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2009, 10:21 PM Publicado: #168
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	una consulta: los 18 resolvieron cada uno los 6 problemas? o entre todos se sabe que todos los problemas estan resueltos auncke no todos hallan resuelto los 6? Gracias.. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2009, 10:25 PM Publicado: #169
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(makmat @ Aug 20 2009, 11:21 PM) una consulta: los 18 resolvieron cada uno los 6 problemas? o entre todos se sabe que todos los problemas estan resueltos auncke no todos hallan resuelto los 6? Gracias.. Suponte que a,b,c resolvieron el p1, y que de ellos solo a y b resolvieron el p2. Eso te puede aclarar el panorama -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 21 2009, 09:16 PM Publicado: #170
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Dado lo interesante de este problema y que mañana es la clasificatoria, propongo lo siguiente: Quien resuelva correctamente el p26 antes de las 11:59 pm de esta noche, obtendra 8 puntos!!!!! Hint: $TEX: ¿Es posible que ningun estudiante haya resuelto mas de 3 problemas en total?$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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