1º Maraton Olimpica 2009 - Foro fmat.cl

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1º Maraton Olimpica 2009, Lectura Obligatoria

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 10 2009, 07:25 PM Publicado: #141
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 23: Se tienen 2009 semaforos acomodados sobre una circunferencia. Un movimiento consiste en seleccionar tres semaforos consecutivos y "avanzar cada uno de ellos una posicion" (es decir, un semaforo en verde pasa a estar en naranja, uno en naranja pasa a estar en rojo y uno en rojo pasa a estar en verde). Inicialmente hay 1004 semaforos en verde y 1005 semaforos en rojo. <br /><br />¿Es posible que tras una secuencia de movimientos todos los semaforos queden en naranja? Justifique su respuesta$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Prince Loryn Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 10 2009, 09:38 PM Publicado: #142
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 26 Registrado: 1-November 08 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 37.535 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Un intento... Para mayor comodidad asignaré un número a cada color. Al verde $TEX: $(V)$$ se le asignará el $TEX: $2$$ Al naranjo $TEX: $(N)$$ se le asignará el $TEX: $1$$ Al rojo $TEX: $®$$ se le asignará el $TEX: $0$$ Inicialmente hay $TEX: $1004$$ verdes y $TEX: $1005$$ rojos Al principio nuestra suma sería: $TEX: $10042+10050=2008$$ y a lo que se pide llegar es a $TEX: $2009$$ Naranjos Es decir la suma sería de $TEX: $20091=2009$$ Al tomar 3 semáforos consecutivos se podrían dar los siguiente casos: 1) $TEX: VVV$ es decir $TEX: $2-2-2$$ además de $TEX: $1001V$$ y $TEX: $1005R$$ que sumarían entre ellos $TEX: $10012+10050=2002$$ al hacer los movmientos tenemos: 1.1) $TEX: $NNN$$ es decir $TEX: $1-1-1$$ y la suma total sería de $TEX: $10012+31+10050=2005$$ 1.2) $TEX: $RRR$$ es decir $TEX: $0-0-0$$ y la suma total sería de $TEX: $10012+10080=2002$$ 2) $TEX: $RRR$$ es decir $TEX: $0-0-0$$ y además se tendría con $TEX: $1004V$$ y $TEX: $1002R$$ que sumarían entre ellos $TEX: $10042+10020=2008$$ al hacer los movimientos tenemos: 2.1) $TEX: $VVV$$ es decir $TEX: $2-2-2$$ y la suma total sería de $TEX: $10072+10020=2014$$ 2.2) $TEX: $NNN$$ es decir $TEX: $1-1-1$$ y la suma total sería de $TEX: $10042+31+10020=2011$$ 3) $TEX: $VRR$$ es decir $TEX: $2-0-0$$ (las permutaciones no alteran el valor de la suma total) y además se contaría con $TEX: $1003V$$ y $TEX: $1003R$$ que sumarían entre ellos $TEX: $10032+10030=2006$$ al hacer los movimientos se tendría: 3.1) $TEX: $NVV$$ es decir $TEX: $1-2-2$$ y la suma total sería de $TEX: $10052+11+10030=2011$$ 3.2) $TEX: $RNN$$ es decir $TEX: $0-1-1$$ y la suma total seria de $TEX: $10032+21+10040=2008$$ 4) $TEX: $RVV$$ es decir $TEX: $0-2-2$$ (las permutaciones no alteran el valor de la suma total) y además se contaría con $TEX: $1002V$$ y $TEX: $1004R$$ que sumarían entre ellos $TEX: $10022+10040=2004$$ al hacer los movimientos se tendría: 4.1) $TEX: $VNN$$ es decir $TEX: $2-1-1$$ y la suma total sería de $TEX: $10032+21+10040=2008$$ 4.2) $TEX: $NRR$$ es decir $TEX: $1-0-0$$ y la suma total sería de $TEX: $10022+11+1006*0=2005$$ Luego al aplicar cualquiera de los 4 casos alternadamente la suma nunca podrá tomar el valor $TEX: $2009$$ y por lo tanto no es posible dejar todos los semáforos de color naranjo. Razón de edición: uso de spoiler -------------------- Aquiles Esquivel Medrazo Estudiante Cursando 7º Básico

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 10 2009, 09:51 PM Publicado: #143
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Tu idea de asignarle puntajes a los colores es notable, realmente ingeniosa (y util en problemas de este tipo) Sin embargo tu analisis de casos es innecesario, y algo fastidioso Como consejo, busquen alguna caracteristica que no cambie Dejare en pie el problema A seguir intentando -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

ojotas Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 12 2009, 05:41 PM Publicado: #144
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 262 Registrado: 12-July 09 Desde: mi ksa Miembro Nº: 55.521 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: supongamos que tenemos los semaforos $a_1, a_2, a_3, ...... a_{2009}$ llamaremos a la suma de los semaforos S notemos que $S = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + a_5 ...... + a_{2009}$ es invariante sin importar la cantidad de pasos que realicemos, ya que si $a_i y a_{i+1}; a_{i+2}$ son vecinos entonces $(a_i - 2) + (a_{i+1} +1) + (a_{i+2} + 1) = a_i + a_{i+1} + (a_{i+2} + 1)$, esto es invariante ya que si se le asignan puntajes supongamos 0,1,2 para verde amarillo y rojo respectivamente siempre va a suceder que no varia nada ya que al aplicar el movimiento la suma sigue siendo la misma, y al sumarlos o multiplicarlos en ninguna de las 2 ocasiones van a quedar una sumatoria o productorio que sea divisible por 3 por lo que no se pueden poner todos amarillos, lo importante de esto es que tanto la suma como su productorio es invariable por lo que nunca se va a poder poner todo en amarillo, ya que no es divisible por 3$ EDITED Mensaje modificado por ojotas el Aug 12 2009, 07:10 PM -------------------- PONGAN AL COLEGIO CORDILLERA DE LAS CCONDES PARA REGISTRARSE

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 12 2009, 06:42 PM Publicado: #145
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Una duda ojotas, tu defines $TEX: $S=a_1-a_2+a_3-a_4+...-a_{2008}+a_{2009}$$ , de que nos sirve??? Tu señalas que es invariante porque $TEX: $(a_i+1)-(a_{i+1}+1)=a_i-a_{i+1}$$ , pero nota que tenemos 3 semaforos que cambian simultaneamente, y 3 colores, asi que utilizar paridad no es muy util en todo caso. Sin embargo, tu idea de buscar una invarianza es util, sin embargo para este caso, una buena idea es en vez de pensar en paridad, piensa en divisibilidad en 3 (por que el 3???, 3 colores, 3 semaforos...) En realidad este problema es distinto al ejemlo 6 de la guia de invarianzas de tio Kenshin, pero no taaan distinto A seguir intentando, el esfuerzo puede dar frutos!!! Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 12 2009, 07:16 PM Publicado: #146
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Dado que la cosa está demasiado lenta... posteo un nuevo problema $TEX: Problema 24:<br />Sea $a_1,a_2,...,a_n$ una sucesión de números, definida por la condición inicial y la relación de recurrencia:<br />$ $TEX: $a_1=3$$ $TEX: $a_{n+1}=a_n^2-2a_n+2$, para todo $n\ge 1$$ $TEX: a) Prueba que $a_{n+1}\ge a_{n}+a_{n-1}+...+a_{1}+2$$ $TEX: b) Encuentre la fórmula explícita para $a_n$$ -------------------- blep

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 12 2009, 07:49 PM Publicado: #147
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: (b) Observando los primeros términos de $(a_k)$, podemos conjeturar que $a_n=2^{2^{n-1}}$, observe que hay infinitas sucesiones que cumplen con la recurrencia $a_{n+1}=a_n^2-2a_n+2$, pero como se define un término inicial y cada término depende del anterior, existe una única sucesión que cumple con la recurrencia y que comienza con $a_1=3$. Procederemos por inducción: para $n=1$, $a_n=2^{2^{n-1}}$, si se cumple, suponga que también es cierta para un $n$ cualquiera, ahora probaremos que es cierta para $n+1 \implies a_{n+1}=2^{2^{n}}+1=(2^{2^{n-1}})^2+1=(a_n-1)^2+1=a_n^2-2a_n+2$, lo que significa que nuestra $a_n$ cumple con ambos estamentos del enunciado, y además probamos que es única, luego $a_n=2^{n-1}+1$.$ Editado. Mensaje modificado por makmat el Aug 12 2009, 08:10 PM -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 12 2009, 07:52 PM Publicado: #148
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(makmat @ Aug 12 2009, 09:49 PM) $TEX: (b) Observando los primeros términos de $(a_k)$, podemos conjeturar que $a_n=2^n+1$, observe que hay infinitas sucesiones que cumplen con la recurrencia $a_{n+1}=a_n^2-2a_n+2$, pero como se define un término inicial y cada término depende del anterior, existe una única sucesión que cumple con la recurrencia y que comienza con $a_1=3$. Porcederemos por inducción: para n=1, $a_n=2^n+1$, si se cumple, suponga que también es cierta para un $n$ cualquiera, ahora probaremos que es cierta para $n+1 \implies a_{n+1}=2^{n+1}+1=(2^{n})^2+1=(a_n-1)^2+1=a_n^2-2a_n+2$, lo que significa que nuestra $a_n$ cumple con ambos estamentos del enunciado, y además probamos que es única, luego $a_n=2^n+1$.$ seguro ? a_3=17, pero segun tu formula vale 9 Cuidado con lo que hacen y quizas hacer la primera parte puede ayudarlos saludos y ánimo!! -------------------- blep

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 12 2009, 08:02 PM Publicado: #149
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	EDITADA la solución parte (b), Revisenla Dios me los bendiga a todos como lo hace conmigo!!!! -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 12 2009, 08:05 PM Publicado: #150
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(makmat @ Aug 12 2009, 10:02 PM) EDITADA la solución parte (b), Revisenla Dios me los bendiga a todos como lo hace conmigo!!!! Ahora si, respuesta correcta salvo por un pequeño error de tipeo. Anímate con la parte A y quizas ver alguna solucion alternativa para la parte B saludos -------------------- blep

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