1º Maraton Olimpica 2009 - Foro fmat.cl

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1º Maraton Olimpica 2009, Lectura Obligatoria

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2009, 10:32 PM Publicado: #131
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solucion correcta, mereces 7 ptos. Felicitaciones Mirror (primer post en la comunidad), solo que se te olvido lo del spoiler. Solo que pudiste haber acortado aun mas la dem en b) si hubieses ocupado que $TEX: $a>1/a$$ si $TEX: $a>1$$ Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2009, 10:46 PM Publicado: #132
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 22: Construya (con regla y compas) un triangulo del cual solo se conocen las longitudes de sus tres alturas.$ cortesia de xsebastian Saludos y recuerden que pueden postear sus respuestas a cualquier hora del dia -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2009, 01:22 PM Publicado: #133
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Para los que aun están tratando de hacer el problema 19, les dejo un hint Deduzca que $TEX: $f(0)=1$$ y luego llegue a posibles valores de $TEX: $f(\pm 1)$$ , además las sumas telescópicas pueden servir ^^ saludos, creo que con eso podrán ir por un buen camino -------------------- blep

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2009, 04:46 PM Publicado: #134
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	El de la función: $TEX: $f(0) = f(0+0) = f(0)f(0)-f(0) +1$$ $TEX: $Sea f(0) = p$, entonces$ : $TEX: $p= p^{2}-p+1$$ $TEX: $0=p^{2}-2p+1$$ $TEX: $0= (p-1)^2$$ $TEX: $p-1=0$$ $TEX: $p= f(0)=1$$ Luego $TEX: $f(0) = f(1+(-1))= f(1)f(-1)-f(-1)+1$$ $TEX: $1= f(1)f(-1)-f(-1)+1$$ $TEX: $0=f(1)f(-1)-f(-1)$$ $TEX: $f(-1)=f(1)f(-1)$$ $TEX: $1 = f(1)$$ de forma similar llegamos a que f(2) =1 , f(3) = 1, etc.. es decir para todoslos enteros positivos incluido el cero la imagen es 1 Además: $TEX: $f(-1) = f(1+(-2)) = f(1)f(-2)-f(-2)+1$$ $TEX: $f(-1)= f(-2)(1-1) +1$$ $TEX: $f(-1) = 1$$ Por lo tanto, concluimos que la funcion que cumple con lo pedido es $TEX: $f(n) = 1$$ para todo numero entero n -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos*

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2009, 04:59 PM Publicado: #135
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hola. Primero: La funcion sirve pero..¿Es esa la unica funcion que satisface lo pedido?? Segundo: Fijate que $TEX: $f$$ debe estar definida para todos los racionales. Mira, cuando hiciste $TEX: $f(-1)=f(1)\cdot f(-1)$$ se te olvido analizar un caso.. que pasa si $TEX: $f(-1)=0$$ ?? El problema sigue en pie, saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2009, 05:00 PM Publicado: #136
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Hamon @ Aug 9 2009, 05:46 PM) El de la función: $TEX: $f(0) = f(0+0) = f(0)f(0)-f(0) +1$$ $TEX: $Sea f(0) = p$, entonces$ : $TEX: $p= p^{2}-p+1$$ $TEX: $0=p^{2}-2p+1$$ $TEX: $0= (p-1)^2$$ $TEX: $p-1=0$$ $TEX: $p= f(0)=1$$ Luego $TEX: $f(0) = f(1+(-1))= f(1)f(-1)-f(-1)+1$$ $TEX: $1= f(1)f(-1)-f(-1)+1$$ $TEX: $0=f(1)f(-1)-f(-1)$$ $TEX: $f(-1)=f(1)f(-1)$$ $TEX: $1 = f(1)$$ de forma similar llegamos a que f(2) =1 , f(3) = 1, etc.. es decir para todoslos enteros positivos incluido el cero la imagen es 1 Además: $TEX: $f(-1) = f(1+(-2)) = f(1)f(-2)-f(-2)+1$$ $TEX: $f(-1)= f(-2)(1-1) +1$$ $TEX: $f(-1) = 1$$ Por lo tanto, concluimos que la funcion que cumple con lo pedido es $TEX: $f(n) = 1$$ para todo numero entero n En el segundo bloque de tu demostración, el argumento fallaría si $TEX: $f(-1)=0$$ (aunque la intención no va mal encaminada). Tambien considera que la funcion $TEX: $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$$ , o sea necesitas saber cuanto vale la función en cualquier racional, no solo en los enteros. A seguir intentando -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat* (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2009, 08:49 PM Publicado: #137
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kain #13 @ Aug 7 2009, 11:27 PM) $TEX: Problema 18: Sea $a_n=2^{2^n}+1$, $n=0,1,2,...$. Demuestre que para todo $n$ natural:<br /><br />$a_{n+1}=a_0a_1a_2...a_{n-1}+2$$ Se que ya está algo viejo, pero es posible usar inducción: $TEX: Por simple inspección se tiene que $a_1=a_0+2$. Suponga que es cierta para un $n$, es decir, $a_n=a_0a_1...a_{n-1}+2$<br /><br />Se sabe que $a_{n+1}=2^{2^{n+1}}+1=(2^{2^n})^2+1=(a_n-1)^2+1=a_n^2-2a_n+2$. Sea $a_0a_1....a_{n-1}=p \implies a_n=p+2 \implies a_{n+1}=p^2+4p+4-2p-4+2=p^2+2p+2=p(p+2)+2=a_0a_1...a_{n-1}a_n+2$. Con lo que concluye la prueba.$ Saludos, me perdi de la Maraton unos días, por descanso (idea de mi papá ) Que Dios los siga bendiciendo brillantes Matemáticos. Mensaje modificado por Kain #13 el Aug 9 2009, 09:13 PM -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2009, 09:10 PM Publicado: #138
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solucion correcta makmat , distinta a la de pelao malo. Se te asignaran 5 puntos por lo distinta. Siendote sincero, es la misma solucion que tenia en mente en un principio Saludos y que Dios guie tus pasos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2009, 10:37 PM Publicado: #139
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	haha los lokos terrible encomendaos xD!!!! $TEX: \noindent Lema: Si tenemos que existen $2$ tri\'angulos de lados $a,b,c$ y $a',b',c'$, que cumplen $$\frac{a}{b}=k_1\ ,\ \frac{b}{c}=k_2\ ,\ \frac{c}{a}=k_3$$ $$\frac{a'}{b'}=k_1\ ,\ \frac{b'}{c'}=k_2\ ,\ \frac{c'}{a'}=k_3$$ Entonces se cumplen que dichos triangulos son semejantes.\\<br /><br />\noindent Demostracion: Tenemos que $$\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}\Rightarrow \frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}$$ y de la misma manera $$\frac{b}{c}=\frac{b'}{c'}\Rightarrow \frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$$ Entonces $$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$$ por lo que los lados est\'an en la misma proporcion, entonces los tri\'angulos son semejantes $\blacksquare$.$ $TEX: \noindent Sean $a,b,c$ los lados del supuesto tri\'angulo, y $h_a,h_b,h_c$ las alturas respectivas a dichos lados en el triangulo. Entonces el \'area de dicho triangulo es $$A=\frac{ah_a}{2}=\frac{bh_b}{2}=\frac{ch_c}{2}$$ $$\Rightarrow ah_a=bh_b=ch_c\ \ \ (i)$$ De eso podemos tomar la primera ecuacion solamente, y decir $$ah_a=bh_b\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{h_b}{h_a}=k_1$$ Ahora, como tenemos las longitudes de las alturas, construimos un segmento $XZ$ de longitud $h_b+h_a$, y $P$ un punto en el tal que $XP=h_b$ y $PZ=h_a$; y un segmento cualquiera $XY$ secante a $XZ$. Ahora trazamos, con la regla y el compas, una paralela a $YZ$ por $P$, que corte a $XY$ en $Q$, y llamaremos $m=XQ$ y $n=QY$.$ $TEX: \noindent Por semejanza entre los triangulos $\triangle XPQ$ y $\triangle XZY$ tenemos $$\frac{m}{n}=\frac{h_b}{h_a}=k_1$$ Por lo tanto tendremos $$\frac{a}{b}=k_1\ ,\ \frac{m}{n}=k_1\ \ \ ()$$ Ahora, de $(i)$ podemos tomar la segunda ecuacion y obtener $$bh_b=ch_c\Rightarrow \frac{b}{c}=\frac{h_c}{h_b}=k_2$$ Para seguir con la dinamica del lema, debemos hallar un segmento de longitud $p$ tal que $$\frac{n}{p}=k_2=\frac{b}{c}=\frac{h_c}{h_b}$$ Pero la longitud $n$ ya la tenemos, entonces formamos con nuestra regla y compas la siguiente figura$ $TEX: \noindent Esto ocurrio asi: Construimos el segmento $XZ$, de longitud $h_b+h_c$, y tomamos un punto en el, $P$, tal que $XP=h_c$ y $PZ=h_b$. Trazamos un rayo a partir de $X$, secante a $XZ$, y en el tomaremos un punto $Q$ tal que $XQ=n$. Entonces trazamos una paralela a $QP$ por $Z$ con nuestra reglita y compas, que cortar\'a a la prolongacion de $XQ$ en $Y$, obteniendo un segmento de longitud $QY=p$. Como los tri\'angulos $\triangle XPQ$ y $\triangle XZY$ son semejantes, entonces $$\frac{n}{p}=\frac{h_c}{h_b}=\frac{b}{c}=k_2$$ por lo tanto, tenemos $$\frac{n}{p}=k_2\ ,\ \frac{b}{c}=k_2\ \ \ ()$$ Ahora notemos que $$\frac{m}{n}=\frac{h_b}{h_a}\ \ \ \ \frac{n}{p}=\frac{h_c}{h_b}$$ y si las multiplicamos obtenemos $$\frac{m}{p}=\frac{h_c}{h_a}=k_3$$ Pero de $(i)$ podemos sacar que $$ah_a=ch_c\Rightarrow \frac{h_c}{h_a}=\frac{a}{c}=k_3$$ por lo tanto $$\frac{m}{p}=k_3\ ,\ \frac{a}{c}=k_3\ \ \ (*)$$ Ahora, uniendo $(),()$ y $(*)$, y teniendo ya los segmentos $m,n,p$, usamos el lema, y podemos establecer que el tri\'angulo formado por los lados $m,n,p$ (que s\'i existe, ya que se asume en el enunciado que el de lados $a,b,c$ existe) es semejante al de los lados $a,b,c$.\\<br />\noindent Construir el triangulo de lados $m,n,p$ con regla y comp\'as, ya dadas sus longitudes, lo asumire como una construccion conocida (o sino el post no me alcanza). Entonces ya construido, lo llamaremos $PQR$, como en la figura de abajo. Trazaremos su altura $PS$, que cae en $QR$, y tomaremos en la recta $PS$ un punto $V$ tal que $PV=h_a$. Entonces trazamos la paralela a $QR$ por $V$, cortando a los lados $PQ$ y $PR$ en $T$ y $U$, respectivamente.$ $TEX: \noindent Entonces, como los triangulos $PTU$ y el $PQR$ son semejantes, y $PQR$ es semejante al de los lados $a,b,c$, los triangulos $PTU$ y el de los lados $a,b,c$ son semejantes, y tienen una altura respectiva congruente, por lo que son congruentes. Por lo tanto, el triangulo $PTU$ cumple el problema.$ Razón de edición: Colcoando los spoiler :) -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 10 2009, 05:59 PM Publicado: #140
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	pelao del mal tu sol es muuuuuuy larga , pero es correcta (todo lo que hiciste esta bien fundamentado). Felicitaciones, se te asignaran los 7 puntos Para los lectores deben recordar como hacer las construcciones con regla y compas (las k menciono, mas no detallo pelao). Que bueno es verte participando Cristian -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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