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> 1º Maraton Olimpica 2009, Lectura Obligatoria
pelao_malo
mensaje Aug 7 2009, 09:59 PM
Publicado: #121


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mensaje Aug 7 2009, 10:07 PM
Publicado: #122


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Solucion correcta pelao, quien toma el 2º lugar en la maraton, 7 puntos.


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Ricardo Vargas Obando
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mensaje Aug 7 2009, 10:23 PM
Publicado: #123


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Continuemos:

TEX:  Problema 19: Encuentre todas las $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$ tales que para todo $x,y\in \mathbb{Q}$ se cumple que:<br /><br />$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1$

Cortesia de Kenshin


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mensaje Aug 8 2009, 07:08 PM
Publicado: #124


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Ufff dado que nadie ha posteado una respuesta al TEX: $P19$, colocaremos un problema 20 dejando este problema (el 19) como abierto. Es decir, cualquier competidor puede responder. Ojo, la restriccion de pelao malo corre pal 19 pero no pal p20

TEX:  Problema 20: Considere un tablero de ajedrez de $8x8$. <br /><br />a)En la casilla inferior izquierda hay un caballo, que se mueve con el movimiento usual. ¿Es posible que llegue a la casilla superior derecha en exactamente 2009 movimientos? En caso afirmativo, muestre un ejemplo. En caso negativo, justifique por que es imposible.<br /><br />b)En las casillas inferior izquierda y superior derecha hay dos peones, uno ocupando cada casilla. Demuestre que es imposible colocar fichas de 2x1 que cubran las 62 casillas restantes


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JoaX
mensaje Aug 8 2009, 08:55 PM
Publicado: #125


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mensaje Aug 8 2009, 09:27 PM
Publicado: #126


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JoaX, podrias justificar mejor tu respuesta para la parte a), por favor? Por que debe ser par??

para la parte b), recuerden que es un tablero de ajedrez wink.gif


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pelao_malo
mensaje Aug 8 2009, 09:30 PM
Publicado: #127


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Mensaje modificado por pelao_malo el Aug 8 2009, 09:31 PM


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mensaje Aug 8 2009, 09:37 PM
Publicado: #128


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Weeeena pelao, correctisima.

Un problema que necesitaba ideas simples pero bonitas, este problema era mas k nada analisis de las coloraciones tongue.gif


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mensaje Aug 8 2009, 10:02 PM
Publicado: #129


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Bien, a continuacion un problema sencillo que no necesita mucha teoria, solo ingenio, espero sea de su gusto:

TEX:  Problema 21: Sean $a,b,c$ reales positivos cuyo producto es estrictamente mayor que $1$, y tales que su suma es menor que la suma de sus reciprocos (inverso multiplicativo). Demuestre que:<br /><br />a) Ninguno de ellos puede ser igual a $1$<br /><br />b) Existe al menos uno de ellos que es menor que $1$


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Mirror
mensaje Aug 8 2009, 10:25 PM
Publicado: #130


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Espero que este correcto tongue.gif

TEX: \noindent Supongamos que alguno es $1$, por ejemplo $c$. Entonces $abc=ab>1$. Por otro lado, $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>a+b\Rightarrow \frac{a+b}{ab}>a+b\Rightarrow ab<1$$ lo que es absurdo (habiamos dicho que era mayor que $1$).

TEX: \noindent Si $a>1,b>1,c>1$ entonces $\frac{1}{a}<1,\frac{1}{b}<1,\frac{1}{c}<1$ por lo tanto $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<3$$ Por otro lado, tenemos que $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>a+b+c>1+1+1=3$$ por lo que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>3$, lo que es absurdo (habiamos dicho que era menor que $3$).

Mensaje modificado por Kain #13 el Aug 8 2009, 10:27 PM
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