1º Maraton Olimpica 2009 - Foro fmat.cl

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1º Maraton Olimpica 2009, Lectura Obligatoria

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 7 2009, 09:59 PM Publicado: #121
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent Observemos que $$(\underbrace{2^{2^n}+1}_{a_n})(2^{2^n}-1)=\underbrace{2^{2^{n+1}}-1}_{a_{n+1}-2}$$ Entonces evaluando el producto $(2^{2^{0}}-1)\cdot a_0a_1a_2\ldots a_n$ obtenemos $$\underbrace{(2^{2^{0}}-1)\cdot (2^{2^{0}}+1)}_{2^{2^{1}}-1}\cdot (2^{2^{1}}+1)\cdot \ldots \cdot (2^{2^{n}}+1)$$ $$=\underbrace{(2^{2^{1}}-1)\cdot (2^{2^{1}}+1)}_{2^{2^{2}}-1}\cdot (2^{2^{2}}+1)\ldots \cdot (2^{2^{n}}+1)$$ $$\ldots$$ $$\Rightarrow (2^{2^{0}}-1)\cdot a_0a_1a_2\ldots a_n=2^{2^{n+1}}-1$$ $$\Rightarrow a_0a_1\cdot \ldots \cdot a_n=2^{2^{n+1}}-1$$ $$\Rightarrow a_0a_1\cdot \ldots \cdot a_n+2=2^{2^{n+1}}+1=a_{n+1}$$$ -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 7 2009, 10:07 PM Publicado: #122
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solucion correcta pelao, quien toma el 2º lugar en la maraton, 7 puntos. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 7 2009, 10:23 PM Publicado: #123
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Continuemos: $TEX: Problema 19: Encuentre todas las $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$ tales que para todo $x,y\in \mathbb{Q}$ se cumple que:<br /><br />$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1$$ Cortesia de Kenshin -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2009, 07:08 PM Publicado: #124
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ufff dado que nadie ha posteado una respuesta al $TEX: $P19$$ , colocaremos un problema 20 dejando este problema (el 19) como abierto. Es decir, cualquier competidor puede responder. Ojo, la restriccion de pelao malo corre pal 19 pero no pal p20 $TEX: Problema 20: Considere un tablero de ajedrez de $8x8$. <br /><br />a)En la casilla inferior izquierda hay un caballo, que se mueve con el movimiento usual. ¿Es posible que llegue a la casilla superior derecha en exactamente 2009 movimientos? En caso afirmativo, muestre un ejemplo. En caso negativo, justifique por que es imposible.<br /><br />b)En las casillas inferior izquierda y superior derecha hay dos peones, uno ocupando cada casilla. Demuestre que es imposible colocar fichas de 2x1 que cubran las 62 casillas restantes$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

JoaX Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2009, 08:55 PM Publicado: #125
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 22 Registrado: 14-July 08 Desde: Santo Domingo Miembro Nº: 29.877 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 20: El nº minimo de movimientos son 6, por lo que cualquier cantidad de movimientos en la que llegue a la casilla debe ser par, por lo tanto en 2009 moviemientos es imposile que llegue D: --------------------

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2009, 09:27 PM Publicado: #126
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	JoaX, podrias justificar mejor tu respuesta para la parte a), por favor? Por que debe ser par?? para la parte b), recuerden que es un tablero de ajedrez -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2009, 09:30 PM Publicado: #127
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	jejejeeeeeeeeeee $TEX: \noindent Notar que si el caballo, sin perdida de generalidad, parte de una casilla negra en la esquina, en una cantidad impar de movimientos siempre caer\'a en una blanca. En 2009 movimientos, por lo tanto, caer\'a en una blanca, y la esquina diagonalmente opuesta tiene el mismo color en la que empez\'o: negro, por lo que no se puede.$ $TEX: \noindent Notar que las 2 casillas diagonalmente opuestas tienen el mismo color, sin perdida de generalidad, negro. Entonces hay $30$ espacios negros y $32$ blancos. Por otro lado, si ponemos un domino de $2\times 1$, siempre cubrir\'a $1$ espacio negro y $1$ blanco. Entonces si ponemos los $30$ dominoes, tendremos cubiertos $31$ negros y $31$ blancos (absurdo). Por lo tanto, no se puede.$ Mensaje modificado por pelao_malo el Aug 8 2009, 09:31 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2009, 09:37 PM Publicado: #128
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Weeeena pelao, correctisima. Un problema que necesitaba ideas simples pero bonitas, este problema era mas k nada analisis de las coloraciones -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2009, 10:02 PM Publicado: #129
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bien, a continuacion un problema sencillo que no necesita mucha teoria, solo ingenio, espero sea de su gusto: $TEX: Problema 21: Sean $a,b,c$ reales positivos cuyo producto es estrictamente mayor que $1$, y tales que su suma es menor que la suma de sus reciprocos (inverso multiplicativo). Demuestre que:<br /><br />a) Ninguno de ellos puede ser igual a $1$<br /><br />b) Existe al menos uno de ellos que es menor que $1$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Mirror Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2009, 10:25 PM Publicado: #130
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 7-August 09 Miembro Nº: 56.578	Espero que este correcto $TEX: \noindent Supongamos que alguno es $1$, por ejemplo $c$. Entonces $abc=ab>1$. Por otro lado, $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>a+b\Rightarrow \frac{a+b}{ab}>a+b\Rightarrow ab<1$$ lo que es absurdo (habiamos dicho que era mayor que $1$).$ $TEX: \noindent Si $a>1,b>1,c>1$ entonces $\frac{1}{a}<1,\frac{1}{b}<1,\frac{1}{c}<1$ por lo tanto $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<3$$ Por otro lado, tenemos que $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>a+b+c>1+1+1=3$$ por lo que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>3$, lo que es absurdo (habiamos dicho que era menor que $3$).$ Mensaje modificado por Kain #13 el Aug 8 2009, 10:27 PM

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