1º Maraton Olimpica 2009 - Foro fmat.cl

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1º Maraton Olimpica 2009, Lectura Obligatoria

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2009, 09:58 PM Publicado: #111
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent Lema: Si tenemos un trapecio $ABCD$ con $AB\|\|CD$ y $X=AC\cap BD$, entonces las \'areas de los tri\'angulos $AXD$ y $BXC$ son iguales.\\<br />\noindent Demostracion: Las alturas desde $A$ y $B$ hacia $CD$ son iguales (ya que $AB\|\|CD$). Las bases $CD$ y $CD$ de los triangulos $ADC$ y $BCD$ son iguales, por lo que las \'areas de los tri\'angulos $ACD$ y $BCD$ son iguales. Ahora como ambas son iguales, si a ambas les restamos el \'area del tri\'angulo $DXC$, obtenemos la igualdad pedida.$ $TEX: \noindent Sea $X=AC\cap BD$ y sea $(XYZ)$ el area de la figura $XYZ$ (notacion). Como $ABCM$ es un trapecio con $AB\|\|CM$ entonces $$(MDK)+(AKDX)=(AXM)=(BXC)\ (i)$$ esto ultimo por el lema. Por otro lado tenemos que $BCDN$ es un trapecio con $BC\|\|DN$, por lo que $$(AKN)+(AKDX)=(NDX)=(BXC)\ (ii)$$ Entonces uniendo $(i)$ y $(ii)$ tenemos que $$(MDK)+(AKDX)=(BXC)=(AKN)+(AKDX)\Rightarrow (MDK)=(AKN)\Rightarrow \frac{(AKN)}{(MDK)}=1$$$ no puse foto del lema, ya que esta descrito claramente segun mi punto de vista. salu2 Mensaje modificado por pelao_malo el Aug 6 2009, 10:11 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2009, 10:09 PM Publicado: #112
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hola pelao, felicitaciones por tu solucion; impecable a mi parecer. Solo un detallito... spoiler plz xDD, pero = ta correcta, 7 ptos. Saludos Solo me resta decir que este problema fue cortesia de CyedqD -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2009, 10:20 PM Publicado: #113
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bien, sigamos $TEX: Problema 16: Definamos la sucesion $a_k$ con: $a_k=4-2/k$, $k$ natural. Sea $A_{k}=a_1a_2...a_k$. Demuestre que siempre $A_k$ es natural$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2009, 11:14 PM Publicado: #114
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent Lema: $(n+1)\cdot (n+2)\ldots (2n-1)\cdot 2n=2^n\cdot 1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2n-1)$.\\<br />\noindent Sea $A(n)$ el lado izquierdo y $B(n)$ el lado derecho. Lo demostraremos por induccion. Si $A(n)=B(n)$ para alg\'un $n$ natural arbitrario, entonces tendremos $$A(n+1)=(n+2)\cdot (n+3)\ldots (2n)\cdot (2n+1)\cdot (2n+2)=\frac{A(n)\cdot (2n+1)\cdot (2n+2)}{n+1}$$ $$\Rightarrow A(n+1)=\frac{A(n)\cdot (2n+1)\cdot (2n+2)}{n+1}=B(n)\cdot 2(2n+1)=2^n\cdot 2\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)\cdot (2n+1)$$ Y como $$2^n\cdot 2\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)\cdot (2n+1)=2^{n+1}\cdot 1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2n-1)(2n+1)=B(n+1)$$ entonces $$A(n+1)=B(n+1)$$ Como $n=1$ sirve, el enunciado es cierto para todo $n$ natural.$ $TEX: \noindent Entonces Tenemos $$A=\left(4-\frac{2}{1}\right)\cdot \left(4-\frac{2}{2}\right)\cdot \left(4-\frac{2}{3}\right)\cdot \ldots \cdot \left(4-\frac{2}{n}\right)=2\left(2-\frac{1}{1}\right)\cdot 2\left(2-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(2-\frac{1}{3}\right)\cdot \ldots \cdot 2\left(2-\frac{1}{n}\right)$$ $$\Rightarrow A=2^n\cdot \left(2-\frac{1}{1}\right)\cdot \left(2-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(2-\frac{1}{3}\right)\cdot \ldots \cdot \left(2-\frac{1}{n}\right)$$ $$\Rightarrow A=2^n\cdot \left(\frac{2\cdot 1-1}{1}\right)\cdot \left(\frac{2\cdot 2-1}{2}\right)\cdot \left(\frac{2\cdot 3-1}{3}\right)\cdot \ldots \cdot \left(\frac{2\cdot n-1}{n}\right)$$ $$\Rightarrow A=\frac{2^n\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{n!}$$ Ahora por el lema tenemos $$A=\frac{(n+1)\cdot (n+2)\ldots \cdot (2n-1)\cdot (2n)}{n!}$$ Ahora si multiplicamos numerador y denominador por $n!$ obtenemos $$A=\frac{n!\cdot (n+1)\cdot (n+2)\ldots \cdot (2n-1)\cdot (2n)}{n!^2}=\frac{(2n)!}{n!^2}=\binom{2n}{n}$$ que es la cantidad de $n$-combinaciones un conjunto de $2n$ elementos, que siempre es natural.$ -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2009, 11:26 PM Publicado: #115
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	jo!!!!, solucion correcta pelao , muy bien explicada 7 puntos... -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 7 2009, 07:14 PM Publicado: #116
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bien, continuemos con la maraton Se ha acordado crear una nueva regla, usuario que no la respete sera amonestado. "Si un competidor resuelve correctamente un problema, NO DEBERA contestar el siguiente problema, no obstante, si podra colocar alguna solucion alternativa (y distinta) a los problemas anteriores que el no haya contestado, valiendo esta un maximo de 5 ptos" Continuemos con el problema 17: $TEX: Problema 17: Sea $\triangle ABC$ un triangulo tal que $\measuredangle C=60º$. Demuestre que:<br /><br />$\dfrac {1}{AC}+\dfrac {1}{BC} \ge \dfrac {2}{AB}$$ No se admitiran soluciones que ocupen trigonometria. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 7 2009, 08:19 PM Publicado: #117
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sugerencias: Ocupen $TEX: $MA-MG$$ , y no ocupen "explicitamente" trigonometria, ocupen ese 60º -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

gpipe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 7 2009, 09:14 PM Publicado: #118
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 36 Registrado: 18-August 07 Miembro Nº: 8.943 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Si trazamos la altura por A y utilizamos la propiedad del triangulo (30-60-90) tenemos lo de la figura y luego ocupando pitagoras en el triangulo de abajo obtenemos que $AB=\sqrt{x^2+y^2-xy}$ con $AC=x,BC=y$ luego la desigualdad es equivalente a probar que $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq \dfrac{2}{\sqrt{x^2+y^2-xy}}$(1) pero por MA-MG $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq \dfrac{2}{\sqrt{xy}}$ pero por MA-MG $\sqrt{x^2+y^2-xy} \geq \sqrt{2xy-xy}=\sqrt{xy}$ luego $\dfrac{2}{\sqrt{xy}} \geq \dfrac{2}{\sqrt{x^2+y^2-xy}}$ (2), de (1) y (2) se obtiene lo pedido$ Archivo(s) Adjunto(s) Dibujo3.jpg ( 27.74k ) Número de descargas: 2

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 7 2009, 09:18 PM Publicado: #119
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bien, solucion correcta , 7 puntos. Felicitaciones pipin, vas en la punta -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 7 2009, 09:27 PM Publicado: #120
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 18: Sea $a_n=2^{2^n}+1$, $n=0,1,2,...$. Demuestre que para todo $n$ natural:<br /><br />$a_{n+1}=a_0a_1a_2...a_n+2$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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