1º Maraton Olimpica 2009 - Foro fmat.cl

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1º Maraton Olimpica 2009, Lectura Obligatoria

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2009, 10:31 PM Publicado: #101
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br /><br />Problema 12: Un monton de naranjas se apila cuidadosamente en capas de forma que en el hueco de 4 naranjas de una capa se coloca otra de la capa superior. La primera capa de abajo tiene $m$ filas y $n$ columnas y la ultima de arriba una unica fila; con $m$ el numero de diagonales de un decagono regular y $n$ el menor natural que dividido por 4 da resto 3, dividido por 5 da resto 4 y dividido por $6$ da resto $5$<br /><br />Calcule la cantidad de naranjas en total.<br /><br />$ PS: Ultimazo de la noche -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

gpipe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2009, 10:50 PM Publicado: #102
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 36 Registrado: 18-August 07 Miembro Nº: 8.943 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Primero calculemos m el numero de diagonales de un decagono regular es $\dfrac{(10)(10-3)}{2}=35$ ahora consideremos a $n+1$ que seria el menor enterodivisible por 4,5 y 6 (MCM) que es 60 luego $n=59$ ahora vamos al problema, contaremos por capas , en la primera capa hay $mn$ en la segunda $(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1$ , en la tercera $(m-2)(n-2)=mn-2(m+n)+2^2$ y asi,que seria $(35)(59)+(34)(58)+....+(1)(25)=35(mn)+(1^2+2^2+...+34^2)-(m+n)(1+2+3+...34)=35(35)(59)+(\dfrac{(34)(35)(69)}{6})-(35+59)(\dfrac{(34)(35)}{2})=30030$$

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2009, 10:52 PM Publicado: #103
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{\mathcal{P}_{12}}$. Note que $m=35$ y $n$ resulta de resolver un sistema de ecuaciones de congruencia de módulo dando como solución $x \equiv 59 (mod. 60) \implies n=59$. En la base hay 2065 naranjas,note que el número de naranjas del siguiente nivel es igual a (m-1)x(n-1) en el siguiente nivel, por lo que hay 1972 en el nivel sobre la base. Entonces el número de naranjas totales equivale a resolver $\displaystyle \sum^{34}_{k=0}(59-k)(35-k)$ Lo que es igual al desarrollarlo a 30030$ . La Gloria sea al Señor para siempre. Saludos y ojala esté bien Mensaje modificado por makmat el Aug 5 2009, 10:56 PM -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2009, 11:00 PM Publicado: #104
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Respuesta correcta, pero me hubiera gustado que hubieses explicado mejor ciertas sumas (que no son triviales para el publico). Por ese detalle solo te otorgo 6 pts La de makmat es igual, por lo tanto 0 ptos Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2009, 07:56 PM Publicado: #105
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 13: Probar que la siguiente ecuación no tiene soluciones naturales:$ $TEX: $\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x^2y}+\dfrac{1}{xy^2}+\dfrac{1}{y^3}=1$$ El problema anterior se eliminó pues no cumplía el fin de la maratón saludos -------------------- blep

gpipe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2009, 08:10 PM Publicado: #106
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 36 Registrado: 18-August 07 Miembro Nº: 8.943 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: es equivalente a $\dfrac{x^3+y^3+x^2y+xy^2}{x^3y^3}$ o $(x+y)(x^2+y^2)=(xy)^3$ sea $g=(x,y)$ luego $x=gm,y=gn$, con $(m,n)=1$ es equivalente a $m^3+n^3+m^2n+mn^2=(m+n)(m^2+n^2)=g^3(mn)^3$ luego se sigue que $m$ divide a $n^3$, pero eran coprimos ,lo que implica que $m=n=1$ que tampoco sirve.$ $TEX: notemos que no puede ocurrir que $x,y\geq 2$ ya que si ocurriera $\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{x^2y}+\dfrac{1}{xy^2}\le \dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{2}<1$ luego alguno de ellos es 1 (digamos x) pero luego seria equivalente a $0=\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{y}$ que como y es positivo no tiene soluciones$ Mensaje modificado por gpipe el Aug 6 2009, 08:49 PM

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2009, 08:51 PM Publicado: #107
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(gpipe @ Aug 6 2009, 10:10 PM) $TEX: es equivalente a $\dfrac{x^3+y^3+x^2y+xy^2}{x^3y^3}$ o $(x+y)(x^2+y^2)=(xy)^3$ sea $g=(x,y)$ luego $x=gm,y=gn$, con $(m,n)=1$ es equivalente a $m^3+n^3+m^2n+mn^2=(m+n)(m^2+n^2)=g^3(mn)^3$ luego se sigue que $m$ divide a $n^3$, pero eran coprimos ,lo que implica que $m=n=1$ que tampoco sirve.$ $TEX: notemos que no puede ocurrir que $x,y\geq 2$ ya que si ocurriera $\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{x^2y}+\dfrac{1}{xy^2}\le \dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{2}<1$ luego alguno de ellos es 1 (digamos x) pero luego seria equivalente a $0=\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{y}$ que como y es positivo no tiene soluciones$ Ahora si, respuesta correcta -------------------- blep

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2009, 08:57 PM Publicado: #108
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bueno ahora otro problema $TEX: Problema 14: Sean p y q primos, encuentre todas las soluciones de $p+q=(p-q)^3$$ Saludos y siempre que introduzcan una notación o bien hagan alguna conclusión justifiquen porfavor -------------------- blep

gpipe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2009, 09:12 PM Publicado: #109
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 36 Registrado: 18-August 07 Miembro Nº: 8.943 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: notemos que $x^3\equiv x(mod 3)$(pequeño teorema de fermat) (basta probar con los posibles restos de x) aplicado al problema $p+q\equiv (p-q)^3\equiv (p-q)(mod3)$ luego $2q\equiv 0(mod 3)$ y como 2 y 3 son coprimos debemos tener que 3 divide a q luego como es primo $q=3$ luego la equacion se transforma en $p+3=(p-3)^3=p^3-3p^2(3)+3p(3)^2-3^3$, aplicando ahora modulo p queda que $p+3\equiv p^3-3p^2(3)+3p(3)^2-3^3\equiv-3^3\equiv -27(mod p)$, luego $30\equiv 0 (mod p)$ y como p es primo tenemos $p=5,3,2$ luego $p=5,q=3$ que funciona y testeando las otras no funcionan$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2009, 09:18 PM Publicado: #110
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solucion correcta, 7 puntos Repito, para los que vean la maraton aprrendan congruancia modulo (una sugerencia que es muy importante) En fmat hay un monton de material de congruancia modulo por si lo necesitan $TEX: Problema 15: Sea $ABCD$ un cuadrilatero cualquiera. En $BD$ se ubica el punto $M$ tal que CM//AB y en $AC$ se ubica el punto $N$ tal que $BN//CD$. Sea $K=AM\cap DN$. Hallar la razon entre las areas de $\triangle ANK$ y $\triangle MDK$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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