Matriz de Proyección - Foro fmat.cl

Matriz de Proyección, Extraído del DIM

Gaston Burrull	Jul 27 2009, 01:02 AM Publicado: #1
Invitado	$TEX: \noindent Se dice que $P \in M_{nn}(\mathbb{K})$ es una matriz de proyección si $P = P^2$.<br />\begin{enumerate}<br />\item Pruebe que si $P$ es matriz de proyección, entonces $I_n-P$ es matriz<br />de proyección, donde $I_n$ es la matriz identidad en $M_{nn}(\mathbb{K})$.<br />\item Pruebe que $P$ es matriz de proyección si y sólo si $P^2(I_n-P) = 0$<br />y $P(I_n-P)^2 = 0$.<br />\item Encuentre $P \in M_{22}(\mathbb{K})$ tal que $P \neq P^2$ y $P^2(I_2-P) = 0$. \\<br />\textit{Indicación:} Considere matrices con coeficientes en $\{0, 1\}.$<br />\end{enumerate}$ La 1 y 2 las pude hacer. Pero la que no puedo hacer es la 3. No veo cómo hallar dicha matriz. Cuando la encuentro, llego a una contradicción con la condición de que $TEX: $P\neq P^2$$ . Probé con una matriz de 2x2 con coeficientes literales, resolví los sistemas de ecuaciones y llegué a puras contradicciones. También intenté el tanteo con la indicación, pero no he encontrado nada. Gracias.

DressedToKill Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 27 2009, 01:17 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.818 Registrado: 21-December 06 Miembro Nº: 3.434	Probaste con alguna que no sea nula tal que al cuadrado sea nula? Por ejemplo la que tiene filas (0,1) y (0,0). -------------------- http://www.youtube.com/watch?v=sp_WV91jx8E...feature=related

Gaston Burrull	Jul 27 2009, 01:27 AM Publicado: #3
Invitado	CITA(DressedToKill @ Jul 27 2009, 02:17 AM) Probaste con alguna que no sea nula tal que al cuadrado sea nula? Por ejemplo la que tiene filas (0,1) y (0,0). Eso era, Intenté hacerlo con $TEX: $P^2=0$$ y $TEX: $P\neq 0$$ , entonces en alguna parte me tuve que haber pifiao con tanto sistema. Me queda una duda más (de esta semana que empezé con matrices): ¿Será cierto que?: $TEX: $P^2=P\Longrightarrow P^3=P^2$$ y que: $TEX: $P^2=P\Longrightarrow P=I$$

DressedToKill Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 27 2009, 01:31 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.818 Registrado: 21-December 06 Miembro Nº: 3.434	La primera es verdad, $TEX: $P^3 = P P^2 = P P = P^2$$ . Incluso, podrías generalizarla a $TEX: $P^k = P$$ para k natural. La segunda es mentira, estarías suponiendo que es invertible. Ahora, para refutar las mentiras siempre hay que conseguir contraejemplos no? Prueba con la matriz de filas (1,0), (0,0). -------------------- http://www.youtube.com/watch?v=sp_WV91jx8E...feature=related

Gaston Burrull	Jul 27 2009, 01:36 AM Publicado: #5
Invitado	CITA(DressedToKill @ Jul 27 2009, 02:31 AM) La primera es verdad, $TEX: $P^3 = P P^2 = P P = P^2$$ . Incluso, podrías generalizarla a $TEX: $P^k = P$$ para k natural. La segunda es mentira, estarías suponiendo que es invertible. Ahora, para refutar las mentiras siempre hay que conseguir contraejemplos no? Prueba con la matriz de filas (1,0), (0,0). Clarísimo

jtdiazc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2011, 01:33 PM Publicado: #6
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 25-January 11 Miembro Nº: 83.400 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hola, también estoy en este problema pero no he podido hacer la (a). Alguien me puede dar algún Hint??? xD Saludos

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2011, 01:59 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $$(I-P)^2=(I-P)(I-P)=I-2P+P^2=I-2P+P=I-P.$$$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

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