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Una buena polaca :P, [facil]

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 24 2009, 10:39 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Sean $a,b,c>0$, tales que $ab+bc+ca=abc$. Demuestre que:$ $TEX: $\displaystyle \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\displaystyle \frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\displaystyle \frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\ge 1$$ Saludos y no se asusten, no es necesario ser bruto con esta Mensaje modificado por Kain #13 el Oct 13 2009, 05:47 PM -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

xdanielx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 8 2010, 12:07 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 3.360 Registrado: 11-March 08 Miembro Nº: 16.617	Salio a la mala pero salio Sin perdida de generalidad asumamos $TEX: $a \geqslant b \geqslant c$$ notar que $TEX: $$<br />\sum\limits_{cyc} {\frac{{a^4 + b^4 }}<br />{{ab\left( {a^3 + b^3 } \right)}}} = \sum\limits_{cyc} {\frac{{\frac{1}<br />{{a^4 }} + \frac{1}<br />{{b^4 }}}}<br />{{\frac{1}<br />{{a^3 }} + \frac{1}<br />{{b^3 }}}}} <br />$$$ entonces $TEX: $$<br />\frac{{\frac{1}<br />{{a^4 }} + \frac{1}<br />{{b^4 }}}}<br />{{\frac{1}<br />{{a^3 }} + \frac{1}<br />{{b^3 }}}} + \frac{{\frac{1}<br />{{b^4 }} + \frac{1}<br />{{c^4 }}}}<br />{{\frac{1}<br />{{b^3 }} + \frac{1}<br />{{c^3 }}}} + \frac{{\frac{1}<br />{{c^4 }} + \frac{1}<br />{{a^4 }}}}<br />{{\frac{1}<br />{{c^3 }} + \frac{1}<br />{{a^3 }}}} \geqslant 1<br />$$$ aplicando la desigualdad de Tchebyshev $TEX: $$<br />\frac{{\frac{1}<br />{{a^4 }} + \frac{1}<br />{{b^4 }}}}<br />{2} \geqslant \frac{{\frac{1}<br />{{a^3 }} + \frac{1}<br />{{b^3 }}}}<br />{2}\frac{{\frac{1}<br />{a} + \frac{1}<br />{b}}}<br />{2} \Leftrightarrow \frac{{\frac{1}<br />{{a^4 }} + \frac{1}<br />{{b^4 }}}}<br />{{\frac{1}<br />{{a^3 }} + \frac{1}<br />{{b^3 }}}} \geqslant \frac{{\frac{1}<br />{a} + \frac{1}<br />{b}}}<br />{2}<br />$$$ haciendo lo mismo para las demas y un poquito de algebra $TEX: <br />$$<br />\frac{{\frac{1}<br />{{a^4 }} + \frac{1}<br />{{b^4 }}}}<br />{{\frac{1}<br />{{a^3 }} + \frac{1}<br />{{b^3 }}}} +\frac{{\frac{1}<br />{{b^4 }} + \frac{1}<br />{{c^4 }}}}<br />{{\frac{1}<br />{{b^3 }} + \frac{1}<br />{{c^3 }}}} + \frac{{\frac{1}<br />{{c^4 }} + \frac{1}<br />{{a^4 }}}}<br />{{\frac{1}<br />{{c^3 }} + \frac{1}<br />{{a^3 }}}} \geqslant \frac{{\frac{1}<br />{a} + \frac{1}<br />{b}}}<br />{2} + \frac{{\frac{1}<br />{b} + \frac{1}<br />{c}}}<br />{2} + \frac{{\frac{1}<br />{c} + \frac{1}<br />{a}}}<br />{2} = \frac{{2 \cdot \left( {\frac{1}<br />{a} + \frac{1}<br />{b} + \frac{1}<br />{c}} \right)}}<br />{2} = 1<br />$$$ obteniendo lo pedido Mensaje modificado por ~Fatal_Collapse~ el Jan 8 2010, 12:25 PM

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 8 2010, 12:30 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Muy bien, respuesta correcta y una intedezante aplicacion de la desigualdad de Chebyshev, solo te edite unos signos cambiados Paso a resueltos, comentando que hay otra via para finiquitar el problema sin recurrir a Chebyshev, pero muy parecida a la de xdanielx -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

xdanielx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 8 2010, 01:01 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 3.360 Registrado: 11-March 08 Miembro Nº: 16.617	lo otro seria aunque es una idea que aun no termino notar que $TEX: $$<br />\sum\limits_{cyc} {\frac{{a^4 + b^4 }}<br />{{ab\left( {a^3 + b^3 } \right)}}} = \sum\limits_{cyc} {\frac{{\frac{1}<br />{{a^4 }} + \frac{1}<br />{{b^4 }}}}<br />{{\frac{1}<br />{{a^3 }} + \frac{1}<br />{{b^3 }}}} = } \sum\limits_{cyc} {\frac{1}<br />{a} + \frac{1}<br />{b} - \frac{{\frac{1}<br />{{a^3 b}} + \frac{1}<br />{{ab^3 }}}}<br />{{\frac{1}<br />{{a^3 }} + \frac{1}<br />{{b^3 }}}}} = \sum\limits_{cyc} {\frac{1}<br />{a} + \frac{1}<br />{b} - \frac{{a^2 + b^2 }}<br />{{a^3 + b^3 }}} <br />$$$ entonces tenemos: $TEX: $$<br />2\left( {\frac{1}<br />{a} + \frac{1}<br />{b} + \frac{1}<br />{c}} \right) - \frac{{a^2 + b^2 }}<br />{{a^3 + b^3 }} - \frac{{b^2 + c^2 }}<br />{{b^3 + c^3 }} - \frac{{c^2 + a^2 }}<br />{{c^3 + a^3 }} \geqslant 1<br />$$$ o mejor aun $TEX: $$<br />\frac{{a^2 + b^2 }}<br />{{a^3 + b^3 }} + \frac{{b^2 + c^2 }}<br />{{b^3 + c^3 }} + \frac{{c^2 + a^2 }}<br />{{c^3 + a^3 }} \leqslant 1<br />$$$ con $TEX: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$$ Faltaria mostrar qque lo ultimo es siempre cierto, y como dije anteriormente es solo una idea que aun no termino...Si la suerte me acompaña a la noche la termino saludos

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