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Propiedad de matrices, sólo para novatos

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Gaston Burrull	Jul 23 2009, 06:20 PM Publicado: #1
Invitado	$TEX: \noindent Demuestre que si $A=(a_{ij})_{nxn}$ es una matriz diagonal con $a_{ii}\neq0$, para $i=1,\ldots,n$ entonces es invertible, y su<br />inversa también es diagonal con $(A^{-1})_{ii}=\frac{1}{a_{ii}}$.$

Sephiroth99 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 28 2009, 11:16 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.313 Registrado: 28-June 07 Miembro Nº: 7.123 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $$A=\left( a_{ij} \right)_{nxn}diagonal\to a_{ij}=\left\{ \begin{matrix}<br /> 0 & i\ne j \\<br /> a_{ii} & i=j \\<br />\end{matrix} \right.$$$ $TEX: $$A^{-1}=\left( b_{ij} \right)_{nxn}$$$ $TEX: $$AA^{-1}=\left( c_{ij} \right)_{nxn}=I_{n}$$$ $TEX: $$\sum\limits_{k=1}^{n}{a_{ik}b_{kj}}=c_{ij}=\left\{ \begin{matrix}<br /> 0 & i\ne j \\<br /> 1 & i=j \\<br />\end{matrix} \right.\left\{ i=1...n,j=1..n \right\}$$$ $TEX: $$\left( 1 \right)\sum\limits_{k=1}^{n}{a_{ik}b_{kj}}=1,con\text{ }i=j,\forall k$$$ $TEX: $$\Rightarrow Si\text{ }i=k\to a_{ik}\ne 0\to a_{ii}b_{ii}=1\Rightarrow b_{ii}=\frac{1}{a_{ii}},\forall k=j\Rightarrow \left( A^{-1} \right)_{ii}=\frac{1}{a_{ii}}$$$ $TEX: $$\left( 2 \right)\sum\limits_{k=1}^{n}{a_{ik}b_{kj}}=0,con\text{ }i\ne j,\forall k$$$ $TEX: $$\Rightarrow Si\text{ }i=k\to a_{ik}\ne 0\to b_{kj}=0,\forall k\ne j$$$ $TEX: $$\left( 1 \right)y\left( 2 \right)\Rightarrow A^{-1}=\left( b_{ij} \right)_{nxn}es\text{ }diagonal$$$ -------------------- Hay dos cosas infinitas: el Universo y la estupidez humana. Y del Universo no estoy seguro

Gaston Burrull	Jul 29 2009, 12:05 AM Publicado: #3
Invitado	¡¡¡Muy bien!!! Una observación: No pusiste muy completa la demostración en 2 partes, faltó poner lo que venía antes de las primeras implicancias, asumí que lo sabías y que no lo quisiste poner, (ya que de otro modo no habrías podido concluir). [Esto hizo que me costara un poco más de trabajo entenderte la demostración]. CITA(Sephiroth99 @ Jul 29 2009, 12:16 AM) $TEX: $$\left( 1 \right)\sum\limits_{k=1}^{n}{a_{ik}b_{kj}}=1,con\text{ }i=j,\forall k$$$ $TEX: $$\Rightarrow Si\text{ }i=k\to a_{ik}\ne 0\to a_{ii}b_{ii}=1\Rightarrow b_{ii}=\frac{1}{a_{ii}},\forall k=j\Rightarrow \left( A^{-1} \right)_{ii}=\frac{1}{a_{ii}}$$$ Aquí, asumí que hiciste lo siguiente: $TEX: $$1=c_{ii}=\sum\limits_{k=1}^{n}{a_{ik}b_{ki}}=a_{ii}b_{ii}$$ ya que $i=k$ es el único término que sobrevive de la sumatoria, de lo contrario $a_{ik}=0$.<br /><br />\noindent Ahora como $$c_{ii}=a_{ii}b_{ii}$$ y además $$c_{ii}=1$$ implica que... (aquí viene el resto de tu desarrollo).$ CITA(Sephiroth99 @ Jul 29 2009, 12:16 AM) $TEX: $$\left( 2 \right)\sum\limits_{k=1}^{n}{a_{ik}b_{kj}}=0,con\text{ }i\ne j,\forall k$$$ $TEX: $$\Rightarrow Si\text{ }i=k\to a_{ik}\ne 0\to b_{kj}=0,\forall k\ne j$$$ Aquí entendí que hiciste esto: $TEX: $$0=c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{n}{a_{ik}b_{kj}}=a_{ii}b_{ij}$$ ya que $i=k$ es el único término que sobrevive de la sumatoria, de lo contrario $a_{ik}=0$.<br /><br />\noindent Ahora como $$c_{ij}=a_{ii}b_{ij}$$ y además $$c_{ij}=0$$ implica que... (aquí viene el resto de tu desarrollo, [como uno es diferente de cero, debe serlo el otro]).$ Ahora espero que haya quedado más claro, para el que no entienda muy bien la solución de cristian. Pasar a resueltos. Saludos.

Pedro² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 29 2009, 12:25 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 824 Registrado: 15-October 07 Desde: Valparaíso Miembro Nº: 11.342 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Otra opción (aunque es en escencia lo mismo xD): Sea $TEX: $B=\left(b_{ij}\right)_{i,j=1}^n$$ con $TEX: $b_{ij}=\dfrac{1}{a_{ii}}$$ si $TEX: $i=j,\;i=1,2,...,n$$ y $TEX: $b_{ij}=0$$ si $TEX: $i\neq j$$ . Sea $TEX: $\mathbf{e}_k$$ el k-ésimo vector de la báse canónica. Notar que $TEX: $B$$ mapea $TEX: $\mathbf{e}_k$$ en la k-ésima columna de $TEX: $B$$ , es decir, $TEX: $B\mathbf{e}_k=b_{kk}\mathbf{e}_k$$ . Así mismo, $TEX: $A$$ mapea $TEX: $\mathbf{e}_k$$ en $TEX: $a_{kk}\mathbf{e}_k$$ . Luego, $TEX: $AB$$ mapea todo vector de la base canónica en sí mismo (pues $TEX: $a_{kk}\cdot b_{kk}=1$$ ). Se concluye que $TEX: $A$$ es invertible y su inversa es $TEX: $B$$ . Saludos -------------------- Pedro P. Montero Silva Estudiante de Licenciatura en Ciencias, Mención Matemática* - Mechón 2009* "One rather curious conclusion emerges, that pure mathematics is on the whole distinctly more useful than applied. A pure mathematician seems to have the advantage on the practical as well as on the aesthetic side. For what is useful above all is technique, and mathematical technique is taught mainly through pure mathematics." G.H. Hardy

Gaston Burrull	Jul 29 2009, 12:35 AM Publicado: #5
Invitado	CITA(Pedro² @ Jul 29 2009, 01:25 AM) Otra opción (aunque es en escencia lo mismo xD): Sea $TEX: $B=\left(b_{ij}\right)_{i,j=1}^n$$ con $TEX: $b_{ij}=\dfrac{1}{a_{ii}}$$ si $TEX: $i=j,\;i=1,2,...,n$$ y $TEX: $b_{ij}=0$$ si $TEX: $i\neq j$$ . Sea $TEX: $\mathbf{e}_k$$ el k-ésimo vector de la báse canónica. Notar que $TEX: $B$$ mapea $TEX: $\mathbf{e}_k$$ en la k-ésima columna de $TEX: $B$$ , es decir, $TEX: $B\mathbf{e}_k=b_{kk}\mathbf{e}_k$$ . Así mismo, $TEX: $A$$ mapea $TEX: $\mathbf{e}_k$$ en $TEX: $a_{kk}\mathbf{e}_k$$ . Luego, $TEX: $AB$$ mapea todo vector de la base canónica en sí mismo (pues $TEX: $a_{kk}\cdot b_{kk}=1$$ ). Se concluye que $TEX: $A$$ es invertible y su inversa es $TEX: $B$$ . Saludos No entendí nada, jajajajaja. Saludos.

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