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> * ¿Una curiosidad?
coquitao
mensaje Jul 22 2009, 07:22 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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TEX: $\textrm{Sea}$ TEX: $\mathbf{G}$ TEX: $\textrm{un grupo en el cual la aplicaci\'on}$ TEX: $x \mapsto x^{3}$ TEX: $\textrm{determina un automorfismo}$. TEX: $\textrm{Demuestre que}$ TEX: $\mathbf{G}$ TEX: $\textrm{es un grupo abeliano.}$

- Propuesta inspirada en este tema del compadre 7words. wink.gif


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"Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau
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Cenizas con Most...
mensaje Jan 23 2015, 10:26 PM
Publicado: #2


Dios Matemático
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CITA(coquitao @ Jul 22 2009, 07:22 PM) *
TEX: $\textrm{Sea}$ TEX: $\mathbf{G}$ TEX: $\textrm{un grupo en el cual la aplicaci\'on}$ TEX: $x \mapsto x^{3}$ TEX: $\textrm{determina un automorfismo}$. TEX: $\textrm{Demuestre que}$ TEX: $\mathbf{G}$ TEX: $\textrm{es un grupo abeliano.}$

- Propuesta inspirada en este tema del compadre 7words. wink.gif


Sea TEX: $(a,b)\in G\times G$. La aplicación TEX: $x\mapsto x^3$ es un automorfismo, en particular es sobreyectiva. Esto significa que existe TEX: $c\in G$ tal que TEX: $a=c^3$. Como TEX: $(cb)^3=c^3b^3$, entonces TEX: $(bc)^2=c^2b^2$. Luego TEX: $cbc^3b^3=cb(cb)^3=(cb)^4=(b^2c^2)^2=c^4b^4$. Por ley de cancelación se tiene que TEX: $ba=bc^3=c^3b=ab$ y se concluye que TEX: $G$ es abeliano. TEX: $\blacksquare$


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He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!
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coquitao
mensaje Apr 20 2016, 06:12 PM
Publicado: #3


Dios Matemático Supremo
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Muy bien, Cenizas con Mostaza. Aunque, si no recuerdo mal, bastaba con demostrar que TEX: $f \colon G \to G$ dada por TEX: $x \mapsto x^{2}$ es un homomorfismo de TEX: $G$.


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