[Ecuación funcional] De variable real

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[Ecuación funcional] De variable real

Julio_fmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 22 2009, 07:14 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 4.874 Registrado: 19-January 07 Desde: Mathematics!! Miembro Nº: 3.830 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Resolver la ecuación $f(x+y)^2=f(x)^2+f(y)^2. \forall x,y \in \mathbb{R}.$\\$ $TEX: \noindent \textsf{\underline{Comentario:}} Necesito saber cómo se resuelven este tipo de ecuaciones, igual lo estuve intentando, pero en este caso no sé cómo se despeja $x$ o $y$.\\<br />\ \\<br />\textsf{\underline{Desarrollo:}} Por Cauchy (función aditiva) se tiene que $f(x+y)=f(x)+f(y),$ entonces: $f(x+y)^2=f(x)^2+f(y)^2\implies (f(x)+f(y))^2=f(x)^2+f(y)^2\implies f(x)^2+2f(x)f(y)+f(y)^2=f(x)^2+f(y)^2\implies 2f(x)f(y)=0\implies f(x)=0 \vee f(y)=0.$\\ <br />\ \\<br />¿Pero cómo se despeja $x$ o $y$?, ¿o se deja así?\\<br />$ -------------------- "... Lo veo, pero no puedo creerlo ... se trata de mostrar que las superficies, los volúmenes e incluso las variedades continuas de n dimensiones pueden ponerse en correspondencia unívoca con curvas continuas, o sea, con variedades de una sola dimensión, y que por consiguiente, las superficies, los volúmenes y las variedades de n dimensiones tienen también la misma potencia que las curvas ..." G. Cantor. Las Matemáticas son el lenguaje de la naturaleza, todo lo que nos rodea se puede representar y entender mediante números. Si se hace un gráfico con los números de un sistema, se forman modelos; éstos modelos están por todas partes en la naturaleza. Max Cohen. $TEX: $$\Phi=\displaystyle \int \limits_{-\infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}t^2}dt=\lim_{n\to +\infty}P\left(\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i-n\mu}{n\sigma}\le x\right).$$$ Licenciado en Matemática (2021). Universidad de Concepción, Chile.

kbzoon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 22 2009, 07:24 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La finalidad de éstas ecuaciones, no es despejar $TEX: $x$$ o $TEX: $y$$ sino encontrar "todas" las funciones que cumplan cierta condición, porsupuesto, especificando el dominio y el codominio. Y bueno, los mecanismos para hacerlo, no son tan fáciles, o al menos, no hay un procedimiento, "estándar" para resolver estos ejercicios. (Aunque siempre se siguen procedimientos típicos, para descartar o "descubrir" cómo es la solución). -------------------- Injeniería de Minas. The best SpaceDream Radio ever

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 22 2009, 08:17 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	A mi parecer la funcion es identicamente nula. Paso 1: Pongamos $TEX: $y=0$$ , obtenemos que $TEX: $f(x)^2=f(x)^2+f(0)^2$$ , de donde se desprende que $TEX: $f(0)^2=0$$ , es decir, $TEX: $f(0)=0$$ Paso 2: Ya sabemos que $TEX: $f(0)=0$$ , ahora intentaremos ocupar esto que ya conocemos. Veamos que $TEX: $0=f(0)^2=f(x+(-x))^2=f(x)^2+f(-x)^2$$ O sea, $TEX: $f(x)^2=-f(-x)^2$$ Paso 3: Analizaremos lo obtenido en el paso 2. Notemos que $TEX: $-f(-x)^2$$ es menor o igual a $TEX: $0$$ , pero por otro lado $TEX: $f(x)^2$$ es mayor o igual a $TEX: $0$$ (como deduje esto??? gracias a la desigualdad mas simple, pero poderosisima a la vez: $TEX: $a^2$$ es mayor que para todo $TEX: $a$$ real). Por lo tanto necesariamente $TEX: $f(x)^2=-f(-x)^2=0$$ , por lo tanto $TEX: $f(x)=0$$ para todo $TEX: $x$$ real. Como te dijo kbzoon, la idea es encontrar las funciones que cumplan la(s) condicion(es) señalada(s), y NO hay un procedimiento estandar, porque varia mucho de la ecuacion funcional, pero te puedo dar algunas indicaciones que te pueden ayudar algo: Si aparecen dos variables (digamos $TEX: $x$$ , $TEX: $y$$ ), pon $TEX: $x=y$$ Tambien te puede servir calcular valores de $TEX: $f(x)$$ , como $TEX: $f(0)$$ , $TEX: $f(1)$$ ,..., etc Te puede servir demostrar propiedades de la funcion, como periodicidad, si es par, impar, inyectiva, epiyectiva, biyectiva,..., etc. Estos pasos te pueden a ayudar a conocer un poco mas a la funcion antes de saber que es lo que hace, caracteristicas que ayudadas por tu deduccion e intuicion te pueden ayudar a resolver el problema Otro detalle: la propiedad de Cauchy mencionada es efectivamente solamente si $TEX: $f(x)=kx$$ , $TEX: $k$$ real. Por ejemplo, toma $TEX: $f(x)=x^2+1$$ , obtienes que $TEX: $f(x+y)=x^2+2xy+y^2+1$$ y $TEX: $f(x)+f(y)=x^2+y^2+1$$ . Mira, para aplicar Cauchy deber probar primero que $TEX: $f(x)=kx$$ Salu2 Mensaje modificado por Kain #13 el Jul 22 2009, 08:31 PM -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Julio_fmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 23 2009, 08:07 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 4.874 Registrado: 19-January 07 Desde: Mathematics!! Miembro Nº: 3.830 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Gracias por la buena ayuda (Gracias Kain #13 por la buena explicación), de verdad, me sirvió mucho para saber cómo se resuelven estas ecuaciones, tendré presente las "indicaciones". Saludos. -------------------- "... Lo veo, pero no puedo creerlo ... se trata de mostrar que las superficies, los volúmenes e incluso las variedades continuas de n dimensiones pueden ponerse en correspondencia unívoca con curvas continuas, o sea, con variedades de una sola dimensión, y que por consiguiente, las superficies, los volúmenes y las variedades de n dimensiones tienen también la misma potencia que las curvas ..." G. Cantor. Las Matemáticas son el lenguaje de la naturaleza, todo lo que nos rodea se puede representar y entender mediante números. Si se hace un gráfico con los números de un sistema, se forman modelos; éstos modelos están por todas partes en la naturaleza. Max Cohen. $TEX: $$\Phi=\displaystyle \int \limits_{-\infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}t^2}dt=\lim_{n\to +\infty}P\left(\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i-n\mu}{n\sigma}\le x\right).$$$ Licenciado en Matemática (2021). Universidad de Concepción, Chile.

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