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> Semana del 18 al 24 de Agosto
Claudio Espinoza
mensaje Oct 23 2006, 04:47 PM
Publicado: #11


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Problema 1

Notemos que la masa total en los 3 vértices se mantiene constante, pues solamente se redistribuye, más no aumenta ni disminuye, por lo tanto TEX: $a_n+b_n+c_n=1$, para todo TEX: $n\ge 0$

Además: TEX: $a_0=1,b_0=0,c_0=0$

La regla de formación para las sucesiones es la siguiente:
TEX: $a_{n+1}=\frac{b_n}{2}+\frac{c_n}{2}=\frac{1-a_n}{2}$, TEX: $n\ge 1$
TEX: $b_{n+1}=\frac{c_n}{2}+\frac{a_n}{2}=\frac{1-b_n}{2}$, TEX: $n\ge 1$
TEX: $c_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{b_n}{2}=\frac{1-c_n}{2}$, TEX: $n\ge 1$

Basta con resolver la ecuación TEX: $2x_{n+1}+x_n-1=0$. Note que TEX: $x_{n+1}=\frac{1}{3}$ si y solo si TEX: $x_n=\frac{1}{3}$, como los primeros son (1,0,0) ninguno de los términos de estas sucesiones podrá tomar el valor de 1/3. Lo que sigue es reacomodar la ecuación de la siguiente forma TEX: $\frac{x_{n+1}-1/3}{x_n-1/3}=-\frac{1}{2}$ (esto es posible porque TEX: $x_n$ nunca toma el valor de 1/3.). Haciendo la productoria desde 0 hasta n-1 y aplicando la propiedad telescópica obtenemos TEX: $\frac{x_n-1/3}{x_0-1/3}=(-\frac{1}{2})^n$. Evaluando en cada sucesión obtenemos la fórmula general:

TEX: $a_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}(-\frac{1}{2})^n$
TEX: $b_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^n$
TEX: $c_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^n$ $\blacksquare$

Mensaje modificado por Claudio Espinoza el Oct 23 2006, 11:25 PM
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