Semana del 18 al 24 de Agosto Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

Esta semana vamos a conocer la Prueba de Clasificación de la Olimpiada Nacional. Aún así no es la idea perder la costumbre de la lista semanal de problemas. Comienzo con uno simpático, pero algo laborioso...

Problema 1: Tenemos un equilátero. En el día 0, a las 8:00 AM, hay una masa 1, concentrada en el punto (los puntos no tienen masa, o sea la masa en ellos vale 0 a las 8:00 AM del día 0). Para cada , ocurren las siguientes cosas:

• A las 10:00 AM la masa total de cada vértice es dividida en 2 partes iguales.
• A mediodía es enviada una de estas partes a cada vecino (por ejemplo, si miramos desde el vértice , uno de los grupos parte desde hacia , y el otro desde hasta )
• Los seis envíos realizados llegan a sus destinos a las 2:00 PM

Para cada , determine la distribución de masa (en cada vértice) en el día , a las 8:00 AM. Como sugerencia, encuentre la distribución de los primeros días, cosa de ver si está entendiendo el problema. Toda la información relevante está a las 8:00 AM. Luego intente deducir una fórmula general. Puede ser de mucha ayuda asignar las siguientes incógnitas:

El día , a las 8:00 AM, tenemos una masa en el vértice , una masa en el vértice , y una masa en el vértice .

[S. E. Puelma Moy...]

Un problema 2 que sirve mejor como práctica para este Sábado

Problema 2: Encuentre el mayor número natural con la siguiente propiedad: si dos de sus dígitos son iguales, entonces el dígito que está a la derecha del primero, es diferente al dígito que está a la derecha del segundo. Por ejemplo 28585 no cumple la propiedad, porque tenemos dos dígitos 8, pero a la derecha de ambos tenemos el mismo dígito (5).

[Rurouni Kenshin]

Y aca va el regalito de la semana...solo para los usuarios nuevos..dado que recien estan empezando...
Problema 3
Coloque un caballo en cada casillero de un tablero de ajedrez de 7x7.
Es posible que todos efectuen una movida legal(un salto de caballo) simultaneamente?
O sea todos cambiaran su posicion actual,por alguna de las casillas a las que pueden acceder a traves de un salto de caballo(forma de L), en forma simultanea.
Si es posible..explicar como...y si no es posible,explicar el motivo.
Suerte con este problema..muy simple en realidad pero es un buen problema para partir,en especial los mas chicos
Saludos

[Rurouni Kenshin]

Problema 4
Probar que existen enteros no todos ceros y cada uno con valor absoluto menor a un millon, tales que:

Este ya no es tan facil como el anterior y me gustaria ver sus soluciones a este desafio...buena suerte y hasta la proxima.

[S. E. Puelma Moy...]

Generalicemos un problema de la olimpiada nacional nivel mayor de este año

Problema 5: Encuentre todos los pares de enteros positivos, tales que un tablero cuadriculado de casillas puede ser cubierto por figuras T. Debe ser cubierto totalmente, sin superposiciones y sin salir las figuras T del tablero. Una figura T ocupa cuatro casillas, conectadas entre sí formando una letra T.

[S. E. Puelma Moy...]

Problema 6: Sea una altura en un acutángulo. es un punto en . Sean los pies de las perpendiculares trazadas desde hacia , respectivamente. son, respectivamente, el incentro, el circuncentro, el inradio y el circunradio del . Si los puntos son colineales, pruebe que

[Caetano]

Solucion al problema 6:

Trazemos los segmentos OA = R, AM talque es la bisectriz del angulo en A que pasa por I y IQ=r tal que es perpendicular a BC. Sea el <HAB=x => <EFP=x =><AFE=90-x. Ahora necesitamos trazar el segmento OK perpendicular a AC, en donde el angulo <AOC=2*<ABC = 2*(90-x), entonces el angulo <AOK=90-x, puesto que el triangulo AOC es isosceles. Entonces, <KAO=x => <AOF=180-x-(90-x)=90. Ahora no necesitamos trazar mas lineas, incluso podemos borrar el segmento OK, puesto que era solo para probar que <AOF=90. Notemos que AM es bisectriz del angulo en A, entonces como <EAP=<OAF=x => <PAI=<IAO=y. Ahora, estableceremos ciertas semejanzas que se dan entre triangulos: HAM semejante con QIM => IM/IQ = AM/AH => AH= (AM/IM)*r (*), y los triangulos MIQ y OAI tambien son semejantes, entonces IQ/R = AI/IM => r/R=AI/IM=>(r+R)/r = (AI+IM)/AI=>(r+R)/r=AM/IM (**). Reemplazando AM/IM obtenido en (**) en (*) tenemos que:AH=[(r+R)/r]*r => AH=R+r



Eso seria, y saludos

[Rurouni Kenshin]

Y aca viene El desafio de la Semana

Para cada entero positivo , sea el número de formas en que se puede representar a como suma de potencias de 2 con exponentes enteros no negativos. Las representaciones que difieren únicamente en el orden de los sumandos se consideran iguales. Por ejemplo , porque 4 puede ser representado en las cuatro siguientes formas: 4, 2+2, 2+1+1. 1+1+1+1.
Probar que, para todo entero :

Espero les guste...al menos cuando yo lo hice me senti bien...es bastante complejo en especial unas recurrencias que tuve que establecer....
Saludos

[MasterIN®]

Problema 5: Encuentre todos los pares (a,b) de enteros positivos, tales que un tablero cuadriculado de a×b casillas puede ser cubierto por figuras T. Debe ser cubierto totalmente, sin superposiciones y sin salir las figuras T del tablero. Una figura T ocupa cuatro casillas, conectadas entre sí formando una letra T.

Antes que nada, tenemos que estar claros que como el 4 es par, entonces a*b debe ser par. a*b=2k.

Pintemos el tablero de axb como tablero de ajedrez (que original ). Entonces, tenemos dos tipos de figuras, digamos T1 y T2.



Supongamos que para llenar el tablero ocupamos x piezas T1 e y piezas T2. Entonces:
3x+y = ab/2 ==> casilleros negros
3y+x= ab/2 ==> casilleros blancos.

Además, si sumamos ambos, tenemos que
4x+4y=ab
4(x+y)=ab
x+y = ab/4, pero como x=y, entonces, podemos decir que x=ab/8

Luego, como ab=2k, tenemos que x= 2k/8 ==> x=k/4.

Por lo tanto, concluimos que a=4t y b=4r.

Y eso ps.... sería todo...fin....se acabó...

Otra manera, que deja un poco más de dudas, pero igual sería util, es formar el tablero de 4x4 y luego, podemos ir pegandolos, entonces, tenemos que se podria para todos los a=4t y b=ur

Ia no+....au revoir

QUEPD

by mAsTeR®

[S. E. Puelma Moy...]

inicialmente, es obvio que , si usamos piezas... con el argumento de los colores, se comprueba que es par, . Luego . Pero eso no basta para ver que sean múltiplos de 4. Puedes usar el hecho que al menos uno de ellos sí es múltiplo de 4. Pero no necesariamente ambos... al menos por ahora