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> Cicloide
felper
mensaje Jul 16 2009, 11:04 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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TEX: Un disco de radio R rueda con velocidad angular constante $\omega$ a lo largo de un plano horizontal. Demostrar que la posici\'on de cualquier punto sobre su borde está dado por las ecuaciones:<br /><br />\begin{align*} x&=R(\omega t -\sin \omega t) \\ y&=R(1-\cos \omega t) \end{align*}<br /><br />donde t mide el instante en que el punto se encuentra en contacto con el plano. Demuestre luego, que en cada instante la velocidad de cada punto es perpendicular a la l\'inea que une el punto con el punto de contacto del disco y el plano. Si $\rho$ es la distancia entre estos puntos, demostrar que la magnitud de la velocidad del punto que se mueve es $\omega \rho$.<br />

Mensaje modificado por felper el Jul 17 2009, 02:57 AM


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vocin
mensaje Mar 11 2019, 06:20 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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Parte 4

TEX: Lo haremos a lo físico. Sea $C$ el centro de la circunferencia, $P$ el punto, $O$ el origen (digamos, la posición de $P$ originalmente). Tenemos que $v_{C/O}=R\omega \hat{x}$, de donde $$r_{C/O}=R\omega t \hat{x}+R\hat{y}, $$ gracias a que al inicio el punto está justo arriba. <br /><br />Por otro lado, $$r_{P/C}=-R\cos \omega t \hat{y}-R\sin\omega t \hat{x},$$ lo que es claro por dibujo. Sumando, se sigue directamente lo pedido.<br /><br />La velocidad del punto $P$ no es más que $$R\omega(1-\cos \omega t) \hat{x}+R\sin\omega t \hat{y},$$ que se obtiene por ejemplo derivando lo de arriba (o habiendo calculado primero $v_{P/C}$ y sumando). La línea que une el punto de contacto con el punto $P$ es parecida, es $$r_{P/C}+R\hat{y}=R(1-\cos \omega t) \hat{y}-R\sin\omega t \hat{x},$$ y al hacer el producto punto es claro que da cero.Habiendo calculado todo, es claro que la magnitud del vector velocidad de $P$ difiere solo en $\rho$.<br />

Mensaje modificado por vocin el Mar 11 2019, 06:21 PM


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