 Peps - primer semestre 2009 |
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Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Comunidades Universitarias > Universidad de Santiago de Chile > Tópicos II  |
 Jul 16 2009, 05:31 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 26-November 06 Desde: L.F., Santiago Miembro Nº: 2.940 Nacionalidad:  Universidad:  Sexo:   |
Hola, aqui dejaré las peps que me tocó dar, ya que hay poco papeo en este sector .
 ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{PEP1 - Topicos }}{\text{II (primer semestre 2009)}} \hfill \\<br /> 1. - {\text{a) Demostrar que las raices de la ecuacion }}w^3 {\text{ - 23(1 + i}}\sqrt 3 {\text{) = 0 suman cero}} \hfill \\<br /> {\text{ b) Demuestre que Re}}\left( {\prod\limits_{k = 1}^n {\left( {\cos (kx) + isen(kx)} \right)} } \right) = \cos \left( {\frac{{n(n + 1)}}<br />{2}x} \right) \hfill \\<br /> 2. - {\text{ Si }}f(z) = \frac{{\bar z}}<br />{{\left| z \right|^2 }}{\text{ }}{\text{. Demuestre que la derivada de esta funcion es analitica en }}C - \left\{ 0 \right\} \hfill \\<br /> 3. - {\text{ a) Calcule el valor de }}arctag(2i) \hfill \\<br /> {\text{ b) Muestre que la funcion }}w(z) = arctag(z){\text{ es solucion del problema de valores iniciales }} \hfill \\<br /> {\text{ }}w''(z) + 2w'(z) + w(z) = \frac{{2z^3 }}<br />{{\left( {1 + z^2 } \right)^2 }} + \frac{1}<br />{{2i}}\ln \left( {\frac{{1 + zi}}<br />{{1 - zi}}} \right),{\text{ }}w(0) = 0,{\text{ }}w'(0) = 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/a64f44a3b05c06be793eb2839a80bb3d.png) ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{C1}} \hfill \\<br /> {\text{1}}{\text{. - Sean }}z_1 ,z_2 \in {\text{ }}C{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Demostrar (a) }}\left| {z_1 + z_2 } \right| \leqslant \left| {z_1 } \right| + \left| {z_2 } \right|{\text{ ; (b) }}\left| {\left| {z_1 } \right| - \left| {z_2 } \right|} \right| \leqslant \left| {z_1 - z_2 } \right| \hfill \\<br /> 2. - {\text{Sea la circunferencia de centro }}z_0 = ib{\text{ que pasa por los puntos }} \pm a{\text{ del eje real}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Sea }}z{\text{ un punto cualquiera del plano complejo}}{\text{. Demostrar:}} \hfill \\<br /> {\text{a) }}z{\text{ punto exterior a }}C{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}z\bar z - 2b{\text{Im}}(z) > a^2 \hfill \\<br /> {\text{b) }}z{\text{ punto interior a }}C{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}z\bar z - 2b{\text{Im}}(z) < a^2 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/3ca2eebc255639a0baf001930ae0b2f2.png) 
Mensaje modificado por shaloq88 el Jul 16 2009, 11:31 PM --------------------  Estudiante Ing. Civil Eléctrica de la Universidad de Santiago de Chile  Grande U. de Santiago, 160 años junto a usted =D  Usach entre universidades de "excelencia" según la CNA |
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Jul 16 2009, 05:31 PM
Publicado:
#2
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Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 26-November 06 Desde: L.F., Santiago Miembro Nº: 2.940 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{PEP2 - Topicos II (primer semestre 2009)}} \hfill \\<br /> {\text{1}}{\text{. - Calcule el valor de la integral }}\oint\limits_{\left| {\text{z}} \right|{\text{ = 4}}} {\left( {\frac{{e^z z}}<br />{{z^4 - 3z^3 - 6z^2 + 28z - 24}}} \right)} dz \hfill \\<br /> {\text{2}}{\text{. - Usando metodos de variable compleja calcule el valor de }}\int\limits_{\text{0}}^{{\text{2}}\pi } {\left( {\frac{{{\text{cos(2}}\theta {\text{)}}}}<br />{{{\text{2 - cos(2}}\theta {\text{)}}}}} \right)} d\theta \hfill \\<br /> {\text{3}}{\text{. - Sean }}P(z) = a + bz + cz^2 {\text{ donde }}a,b,c{\text{ son constantes complejas}}{\text{. Considere que}} \hfill \\<br /> {\text{ }}\oint\limits_{\left| {\text{z}} \right|{\text{ = 2}}} {\frac{{P(z)}}<br />{z}} dz = 2\pi i{\text{, }}\oint\limits_{\left| {\text{z}} \right|{\text{ = 2}}} {\frac{{P(z)}}<br />{{z - 1}}} dz = 2\pi i,{\text{ }}\oint\limits_{\left| {\text{z}} \right|{\text{ = 2}}} {\frac{{P(z)}}<br />{{z + 1}}} dz = 2\pi i \hfill \\<br /> {\text{Determine explicitamente }}P(z). \hfill \\<br /> {\text{4}}{\text{. - Encuentre la serie de Laurent para la funcion }}f(z) = \frac{1}<br />{{z(z^2 - 1)}}{\text{ en la region}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/80fdee60ece52235fa07960845f6e2a3.png) ![TEX: \[<br />{\text{ no acotada }}\left| {\text{z}} \right|<br />\]<br />](./tex/4d77e79a5b5bdbf0c4fdc20c08b16dfd.png) >3.![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{C2}} \hfill \\<br /> {\text{1}}{\text{. - a) Demostrar que si la serie }}\sum\limits_{n = 0}^\infty {c_n z^n } {\text{ converge para }}z = z_{\text{1}} \ne 0,{\text{ entonces es}} \hfill \\<br /> {\text{ absolutamente convergente para todos los puntos z tales que }}\left| z \right| < \left| {z_1 } \right|. \hfill \\<br /> {\text{ b) Demostrar que si la serie diverge para }}z = z_2 ,{\text{ entonces diverge para}} \hfill \\<br /> {\text{ todo }}z{\text{ tal que }}\left| z \right| > \left| {z_2 } \right|. \hfill \\<br /> {\text{2}}{\text{. - A partir de la serie }}\sum\limits_{n = 0}^\infty {z^n } = \frac{1}<br />{{1 - z}},{\text{ para }}\left| z \right| < 1,{\text{ demostrar que el desarrollo en serie}} \hfill \\<br /> {\text{ de Taylor en torno a }}z_0 {\text{ de }}f(z) = \frac{1}<br />{{\left( {w - z} \right)^m }}{\text{, }}m \in \mathbb{N}{\text{, es:}} \hfill \\<br /> {\text{ }}f(z) = \frac{1}<br />{{\left( {w - z} \right)^m }} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{(n + m - 1)!(z - z_0 )^n }}<br />{{(m - 1)!(n)!\left( {w - z_0 } \right)^{n + m} }}} .{\text{ Justificar}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/fcdcae991d470481b4bf7b99ea0d79f6.png)
Mensaje modificado por shaloq88 el Jul 16 2009, 08:18 PM -------------------- Estudiante Ing. Civil Eléctrica de la Universidad de Santiago de Chile Grande U. de Santiago, 160 años junto a usted =D Usach entre universidades de "excelencia" según la CNA |
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Jul 16 2009, 05:31 PM
Publicado:
#3
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Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 26-November 06 Desde: L.F., Santiago Miembro Nº: 2.940 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
ehmm nunca fuí a buscar la Pep3
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{C3}} \hfill \\<br /> {\text{1}}{\text{. - Calcular }}I_1 = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{sen(\pi x)}}<br />{{x^2 + x + 1}}} dx \hfill \\<br /> {\text{2}}{\text{. - Determinar }}\widehat{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}<br />{{\sqrt {2\pi } (1 + x + x^2 )}}} \right)}(w) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/4f47f4c81ba65e88c7c94cd84504ad4c.png) bueno dejo las respuestas de C3: Mensaje modificado por shaloq88 el Jul 16 2009, 08:22 PM -------------------- Estudiante Ing. Civil Eléctrica de la Universidad de Santiago de Chile Grande U. de Santiago, 160 años junto a usted =D Usach entre universidades de "excelencia" según la CNA |
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![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> 1. - I_1 = - \frac{{2\pi }}<br />{{\sqrt 3 }}e^{ - \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2}\pi } \hfill \\<br /> 2. - \hat f(w) = e^{ - \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2}w} e^{i\frac{w}<br />{2}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/ea53700021865a114a932ccdc6c612fe.png)
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Jul 16 2009, 11:54 PM
Publicado:
#4
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
![TEX: \[<br />\boxed{1.b}<br />\]<br />](./tex/37c99d4178d24133d5af75e1cbabf588.png) Pep 1![TEX: \[<br />\operatorname{Re} \prod\limits_{k = 1}^n {\left\{ {\cos \left( {kx} \right) + isen\left( {kx} \right)} \right\}} = \operatorname{Re} \prod\limits_{k = 1}^n {e^{ikx} } = \operatorname{Re} \exp \left( {ix\sum\limits_{k = 1}^n k } \right) = \cos \left( {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}<br />{2} \cdot x} \right)<br />\]<br />](./tex/444cfc6ce1a7e7ba21850421bc80bfa2.png) . ![TEX: \[<br />\blacksquare <br />\]](./tex/a9513a8c153f1d6ad46e1c10d5324f6b.png) Se agradece 
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Jul 29 2009, 08:02 PM
Publicado:
#5
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.112 Registrado: 21-December 05 Desde: El Bosque - Stgo Miembro Nº: 473 Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
Buen papeo, Chalo... se agradece
-------------------- "El sentido común es el conjunto de todos los prejuicios adquiridos antes de los 18 años" A. Einstein.  Estudiante Ingeniería Civil Eléctrica - DIE USACH |
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Sep 13 2009, 06:53 PM
Publicado:
#6
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Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 31-October 08 Miembro Nº: 37.462 |
wena......se agradece
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Sep 15 2009, 04:12 PM
Publicado:
#7
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 Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 2-April 09 Miembro Nº: 46.885 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
se agradece el aporte...
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Oct 31 2009, 09:12 PM
Publicado:
#8
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Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9 Registrado: 28-January 08 Miembro Nº: 15.060 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
buena, muchas gracias
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Apr 29 2010, 12:14 AM
Publicado:
#9
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Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 27-April 10 Miembro Nº: 69.765 |
dada
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