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Un clásico, Teorema de wilson

Juαn Arcøζ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2009, 12:38 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 669 Registrado: 19-June 08 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 27.734 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Probar que: $TEX: Si p es un numero primo, $1 + (p-1)!$ es divisible por p.$ Mensaje modificado por Juan Arcos el Jul 16 2009, 12:45 AM -------------------- Biomedical Engineering Vendo libros de MATEMATICAS... Calculo diferencial e integral (Schaum´s Outline series) Calculo Avanzado (Schaum´s Outline series) Analisis de vectores(Schaum´s Outline series) en ingles...cualquier cosa mp

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2009, 10:58 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Pregunta: ¿Quieres que demostremos el Teorema de Wilson o que usemos el Teorema para demostrar lo cke pides? En el segundo caso seria directa la aplicacion de Wilson -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Juαn Arcøζ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 23 2009, 10:11 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 669 Registrado: 19-June 08 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 27.734 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(makmat @ Jul 19 2009, 10:58 PM) Pregunta: ¿Quieres que demostremos el Teorema de Wilson o que usemos el Teorema para demostrar lo cke pides? En el segundo caso seria directa la aplicacion de Wilson Justamente, demostrar el teorema de wilson. El problema es equivalente a lo que plantea el teorema,solo que esta expresado sin recurrir a congruencia: $TEX: Si p es un numero primo,entonces $(p-1)!\equiv-1$ (mod p)$ Saludos Mensaje modificado por Juan Arcos el Jul 23 2009, 10:21 PM -------------------- Biomedical Engineering Vendo libros de MATEMATICAS... Calculo diferencial e integral (Schaum´s Outline series) Calculo Avanzado (Schaum´s Outline series) Analisis de vectores(Schaum´s Outline series) en ingles...cualquier cosa mp

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 12 2010, 03:13 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Calcula de dos maneras distintas el producto de todos los elementos de $TEX: $\mathbf{G} = (\mathbb{Z}_{p}\setminus \{0\}, \cdot).$$ El punto clave de toda la prueba consiste en notar que en G hay exactamente una involución. Aquí pueden encontrar (entre otras cosas) la generalización del teorema a grupos abelianos finitos con exactamente una involución. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 21 2010, 03:12 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(coquitao @ Feb 12 2010, 05:13 AM) Calcula de dos maneras distintas el producto de todos los elementos de $TEX: $\mathbf{G} = (\mathbb{Z}_{p}\setminus \{0\}, \cdot).$$ El punto clave de toda la prueba consiste en notar que en G hay exactamente una involución. Aquí pueden encontrar (entre otras cosas) la generalización del teorema a grupos abelianos finitos con exactamente una involución. Siguiendo la línea de mi colega coquitao. Se sabe que $TEX: $\mathbb{Z}_p$$ , con $TEX: $p \ge 2$$ primo, es un Cuerpo, es decir, que los números $TEX: $1,2,3,...,p-1$$ poseen un inverso bajo el producto, pero debemos ver cuales de estos números son sus mismos inversos, es decir, para qué valores $TEX: $x \in \{1,2,...,p-1 \}$$ , se cumple que $TEX: $x^2\equiv 1 (mod. \ p)$$ , es decir, $TEX: $p\|(x-1)$$ ó $TEX: $p\|(x+1)$$ , vemos que las soluciones a esta congruencia son $TEX: $1$$ y $TEX: $p-1$$ , luego todas las demás clases de congruencias tendrán un inverso distinto de ellos, es decir, que existen $TEX: $(p-3)/2$$ parejas de la forma $TEX: $(x,y): \ xy \equiv 1(mod. \ p) $$ , con $TEX: $x \not = y$, $x,y \in \{ 1, 2, ..., p-1\}$$ , finalmente tenemos que: $TEX: $(p-1)!\equiv p-1 \equiv -1 (mod. p)$$ . El otro lado de la implicancia es fácil pues si se cumple que $TEX: $(p-1)!\equiv -1 (mod. \ p)$$ , es obvio que $TEX: $p$$ no divide a ningún número natural menor a él, luego debe ser primo. $TEX: $\blacksquare$$ . Saludos. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 22 2010, 10:10 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Aca va otra demostracion conocida para el teorema de Wilson: $TEX: Trabajaremos sobre el cuerpo $\mathbb {Z}_p$. Consideremos el polinomio $P(x)=\prod_{k=1}^{p-1} (x-k)$. Veamos que $deg(P)=p-1$, y existe un polinomio $Q(x)$ tal que $$P(x)=Q(x)+(x^{p-1}-1)$$<br /><br />Por el pequeño teorema de Fermat, $x^{p-1}-1$ es nulo en $\mathbb{Z}_p$, entonces $P(x)$ y $Q(x)$ son identicos en $\mathbb {Z}_p$ y como $P(x)$ admite a $1,2,...,p-1$ como raices, entonces $Q(x)$ tambien las admite. Es decir, $Q(x)$ posee al menos $p-1$ raices en $\mathbb {Z}_p$. Pero no es dificil ver que $deg (Q)\leq p-2<p-1$. Es sabido que un polinomio no nulo de grado $d$ en un cuerpo admite a lo mas $d$ raices, mas como $Q(x)$ admite mas raices que su grado, se sigue que $Q(x)$ es identicamente nulo. Entonces $$0=Q(0)=P(0)+1=(-1)^{p-1}(p-1)!+1$$<br /><br />Si $p>2$ estamos listos, pues $(-1)^{p-1}=1$. Para $p=2$, basta ver que $t=-t$ en $\mathbb{Z}_2$ y nuevamente estamos listos.$ Asi es como capte la demostracion, cualquier error me avisan porfa. Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 24 2010, 09:21 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 22 2010, 11:10 AM) Aca va otra demostracion conocida para el teorema de Wilson: $TEX: Trabajaremos sobre el cuerpo $\mathbb {Z}_p$. Consideremos el polinomio $P(x)=\prod_{k=1}^{p-1} (x-k)$. Veamos que $deg(P)=p-1$, y existe un polinomio $Q(x)$ tal que $$P(x)=Q(x)+(x^{p-1}-1)$$<br /><br />Por el pequeño teorema de Fermat, $x^{p-1}-1$ es nulo en $\mathbb{Z}_p$, entonces $P(x)$ y $Q(x)$ son identicos en $\mathbb {Z}_p$ y como $P(x)$ admite a $1,2,...,p-1$ como raices, entonces $Q(x)$ tambien las admite. Es decir, $Q(x)$ posee al menos $p-1$ raices en $\mathbb {Z}_p$. Pero no es dificil ver que $deg (Q)\leq p-2<p-1$. Es sabido que un polinomio no nulo de grado $d$ en un cuerpo admite a lo mas $d$ raices, mas como $Q(x)$ admite mas raices que su grado, se sigue que $Q(x)$ es identicamente nulo. Entonces $$0=Q(0)=P(0)+1=(-1)^{p-1}(p-1)!+1$$<br /><br />Si $p>2$ estamos listos, pues $(-1)^{p-1}=1$. Para $p=2$, basta ver que $t=-t$ en $\mathbb{Z}_2$ y nuevamente estamos listos.$ Asi es como capte la demostracion, cualquier error me avisan porfa. Saludos No entendí qué quieres decir con "x^p-1-1 es nulo en Z_p". Incluso, reemplazando x=0 en ese polinomio obtengo -1. Entiendo la idea que estás usando, sé que, demostrando que x(x-1)(x-2)...(x-(p-1))=x^p-x en Z_p (la diferencia es un polinomio con p raíces y grado menor que p, además Z_p, los detalles quedan para el lector) quedan establecidos Fermat y Wilson (este último, mirando el coeficiente de grado 1, como ya has mencionado. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Ekispe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2010, 12:07 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 894 Registrado: 30-October 08 Desde: Viña del mar Miembro Nº: 37.383 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Otra demostración del mismo teorema.<br /><br />Primero veamos que si $p=2$, tenemos que $(2-1)!\equiv 1(mod$ $2)$ y también $1\equiv -1(mod$ $2)$, es decir, $(2-1)!\equiv -1(mod$ $2)$ Sea ahora $p$ un primo mayor que $2$. Entonces $\forall a \in \mathbb{Z} $ tal que $1\le a\le p-1$ existe un inverso $a_0 \in \mathbb{Z}$ tal que $1\le a_0\le p-1$ y $aa_0=1(mod$ $p)$ Luego los únicos enteros positivos menores que $p$ que son su propio inverso son $1$ y $p-1$. Así podemos agrupar los enteros desde $2$ hasta $p-2$ en $\displaystyle \frac {p-3}{2}$ pares con producto $\equiv 1(mod$ $p)$. <br /><br />Por lo tanto, <br /><br />$(p-1)!\equiv 1(mod$ $p-1)\equiv -1(mod$ $p)$<br /><br /><br /><br />$ -------------------- CITA(egadoobkn @ Oct 4 2010, 12:21 AM) CITA(nmg1302 @ Oct 4 2010, 12:15 AM) a que te refieres?? a que nos referimos? xDDDDDDD !!!!! Que manera de reír ajaja xD!

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