L IMO (2009), Bremen, Alemania Opciones

[Jean Renard Gran...]

Excelentes resultados Anibal, felicidades.

Espero que sigas mejorando.

[Killua]

Problema 1: Sea un entero positivo y sean distintos enteros del conjunto tales que para . Pruebe que no divide a .

Solución al problema 1

Como son elementos distintos del conjunto , estos números son restos distintos módulo . Ya que , con , entonces

Lema: .

Demostración: Procederemos por inducción. El caso base es para . En efecto, haciendo en , tenemos que . Como hipótesis inductiva, supongamos que el lema se cumple para cierto , con : es decir, .

Pdq:

Por H. I. .

Haciendo en , se tiene que . Reemplazando esta congruencia en , y usando la hipótesis de inducción:

Aquí termina la demostración por inducción

Ahora, poniendo en el lema, tenemos que . Supongamos que , entonces . O sea, tenemos que , y ya que ambos son restos módulo , se concluye que , lo que es una contradicción, pues por enunciado. Luego no divide a , como se pedía

[makmat]

Solución al problema 1

Como son elementos distintos del conjunto , estos números son restos distintos módulo . Ya que , con , entonces

Lema: .

Demostración: Procederemos por inducción. El caso base es para . En efecto, haciendo en , tenemos que . Como hipótesis inductiva, supongamos que el lema se cumple para cierto , con : es decir, .

Pdq:

Por H. I. .

Haciendo en , se tiene que . Reemplazando esta congruencia en , y usando la hipótesis de inducción:

Aquí termina la demostración por inducción

Ahora, poniendo en el lema, tenemos que . Supongamos que $n|a_k(a_1-1)$, entonces . O sea, tenemos que , y ya que ambos son restos módulo , se concluye que , lo que es una contradicción, pues por enunciado. Luego no divide a , como se pedía

Bonita solución, yo llegué también a que (suponiendo que es cierta la proposición de que ).
Mediante un método similar al que usó killua llegué a que pero . La única forma que ocurra esto es que , pero son distintos, lo que es una contradiccion. Luego se ha demostrado lo pedido.

Saludos

PD: Cabe felicitar a killua, que muy bonitas soluciones geometricas y que no solo se aplica a la geometria sino que es un matematico legal (le pega a todo).

[Emi_C]

Yo tambien tengo una solucion asi del 1, y la tengo pasada en un word y me cuesta muchisimo usar LATEX, alguien tiene una solucion paa q la pase rapido , a q bldo, ya esta XD

Archivo(s) Adjunto(s)

 Doc2.doc ( 56k ) Número de descargas:  16

 

[Diego Navarro]

Voy a dar una solucion diferente al 4, la publico porqe me gusto arto xddd (me robare la misma imagen de quien la solucionó )

Definamos de igual manera que la imagen los ángulos, notemos que y , por tanto .
Por teorea del seno en el triangulo IEK, ahora por teorema del seno enel triangulo EKC, . Dividiendo (i) con (ii),

Ahora por teorema del seno en el triángulo AIC pero por teorema de la bisectriz, usando esto con (*) y (**), , trabajaremos esta expresión;




pero por lo tanto se simplifican luego la expresión se reduce a


recordando que coseno y seno son funciones par e impar respectivamente;







Si y por tanto el triangulo es equilatero. Si por lo tanto el ángulo pedido es 90.

[Diego Navarro]

Respondere el P5, estoy medio aburrio y quise hacer algo xd

Lema 1: sean a,b,1 los lados de un triángulo donde a,b son enteros positivos, entonces b=c.

sin perdidad de generalidad , ahora por desigualdad triangular, , como b esta entre 2 enteros consecutivos, b=c.

Lema 2: sean a,b,2 los lados de un triángulo donde b,c son enteros, entonces b=c, b=c+1 o c=b+1.

si b=c, es claro, si b>c, por desigualdad triangular, c+2>b>c por lo tanto b=c+1, si c>b por desigualdad triangular b+2>c>b por lo tanto c=b+1

Ahora, haciendo a=1, por el lema1, ,(c=f(1)-1) demostraremos que c=0, claramente c es no negativo, ya que si c fuese negativo entonces f(1) no es positivo. Supongamos por contradiccion que c>0. Llamemos .Como , se deduce que f es periódica, por lo tanto si , donde . Luego se deduce que . Por ser un conjunto finito se deduce que tiene un elemento máximo al cual llamaremos ahora, por desigualdad triangular sanemos que;

O en otras palabras, es cota superior de los enteros positivos .
Por lo tanto c=0, es decir, f(1)=1.

Ahora, haciendo b=1, y usando el lema uno, se obtiene que donde se ve claramente que f es biyectiva.(para todo a, f(f(a))=a, por lo tanto f es sobreyectiva, y si f(a)=f(b), entonces f(f(a))=f(f(b)), donde se obtiene facilmente que a=b, por lo tanto f es inyectiva).

Ahora haciendo b=f(2),recordando que f(f(2))=2, y usando el lema 2, separaremos el problema en 3 casos.

Caso 1: a=f(f(2)+f(a)-1).
Este caso es facil de descartar, ya que a=f(f(a))=f(f(2)f(a)-1), por inyectividad, f(2)=1, pero f(1)=1, lo cual contradice la inyectividad.

Caso 2: a=f(f(2)+f(a)-1)+1. (supondremos a partir de ahora que aes mayor o iguala dos)
Entonces f(f(2)+f(a)-1)=a-1=f(f(a-1)), por inyectividad f(a-1)=f(a)-1+f(2), entonces, f(a-1)-f(a)=f(2)-1.Por lo tanto ahora;

lo cual es contradictorio, ya que como a es mayor que 1, y f(2) es mayor que uno,se deduce entonces que f(a)=1-(a-1)(f(2)-1)<1-1=0 .

Caso3: a+1=f(f(2)+f(a)-1).
Luego f(f(a+1))=f(f(2)+f(a)-1), por inyectividad, f(a+1)-f(a)=f(2)-1. Ahora;
.
Por lo tanto . Ahora por desigualdad triangular;(por comodidad llamaremos d=f(2)-1)


Como esta desigualdad debe ser verdadera para todo a, se deduce que por lo tanto f(a)=(a-1)(f(2)-1)+1=(a-1)+1=a. Luego la unica funcion que cumple el enunciado es la funcion identidad.

(es facil ver que cumple con el enunciado xdd, solo es necesario verificar que cumple la desigualdad triangular con las 3 combinaciones).

[asdayuyi]

El uno :*

Del enunciado podemos notar lo siguiente




...


Tomando la primera congruencia con la segunda



Tomando el resultado anterior con la tercera congruencia



Podemos seguir así hasta k y k-1 de donde obtenemos que



De donde (i)

Con este resultado podemos pegarle una buena patá en la jarra al problema, supongamos por el contrario, que n divide a . Usando (i) tenemos que es decir lo que es una contradicción ya que por enunciado y son restos módulo n y por consiguiente su distancia es siempre menor a n. Luego n no divide a aquella expresión.

Saludos <33

[MatíasMoreno]

Problema 2:

Como M,K,L son puntos medios de PQ, BP, CQ tenemos que MK//BQ, ML//CP de donde ML/MK=CP/BQ, <AQP=<QMK=<MLK y <APQ=<PML=<MKL (esto último debido a que PQ es tangente al circuncírculo del triángulo MKL en M). De esto tenemos que los triángulos AQP y MLK son semejantes, de donde AQ/AP=ML/MK=CP/BQ, por lo tanto AQ·BQ=AP·CP. Sean R,S las intersecciones de OQ y OP con el circuncírculo del triángulo ABC mas cercanas a A, luego por potencia sobre P y Q tenemos que PS·(OP+r)=AP·CP=AQ·BQ=QR·(OQ+r) (i) donde r es el circunradio de ABC. Por otro lado PS+OP=QR+OQ=r de donde PS=r-OP y QR=r-OQ reemplazando en (i) tenemos que de donde OP=OQ.