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Prueeba individual, NM2

grap-it! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 4 2009, 11:09 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 8 Registrado: 16-June 09 Miembro Nº: 54.011 Nacionalidad: Sexo:	PROBLEMA 1. Considere un triangulo ABC, rectángulo en B. Sobre la hipotenusa AC se construye un cuadrado de lado AC, hacia el exterior de triángulo. Sea P el centro del cuadrado. Determinar la medida del ángulo ABP. PROBLEMA 2. Hay 27 ladrones en una llanura. Ninguna pareja de ladrones está a la misma distancia de otra pareja. Cada ladrón debe vigilar al ladrón que está a una menor distancia de él. El abuelo Anacleto, matemático jubilado y aventurero, afirma que "bajo estas condiciones, hay al menos un ladrón que no está siendo vigilado por nadie". ¿En qué se basa el abuelo para afirmar tal cosa?. PROBLEMA 3. Usando exactamente una vez cada uno de los dígitos 1,2,3,4,...,9, construir un número de 9 cifras tal que: El número es divisible por 9. Al borrar el último dígito(el de las unidades), el número resultante es divisible por 8. Al borrar los últimos dos dígitos, el número resultante es divisible por 7. Al borrar los últimos tres dígitos, resulta un número divisible por 6. Al borrar los últimos cuatro dígitos, resulta un número divisible por 5. Y así sucesivamente. Al borrar los siete últimos dígitos, resulta un número divisible por 2. saludos

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 8 2010, 08:34 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	Hola, bueno estaba resolviendo algunos problemas tipo CMAT y aqui va mi solucion a este. CITA(grap-it! @ Jul 5 2009, 12:09 AM) PROBLEMA 1. Considere un triangulo ABC, rectángulo en B. Sobre la hipotenusa AC se construye un cuadrado de lado AC, hacia el exterior de triángulo. Sea P el centro del cuadrado. Determinar la medida del ángulo ABP. Apoyandome en la imagen...haciendo las construcciones indicadas problema_1_cmat_2009.jpg ( 15.52k ) Número de descargas: 2 Se ve claramente que P es el centro del cuadrado, ya que es la interseccion de sus diagonales ademas, como FC es diagonal del cuadrado, FCA mide 45° Vemos que el cuadrilatero ABCP es ciclico, ya que sus angulos opuestos en B y en P miden 90°, asi que son suplementarios. Finalmente, ya que es ciclico, ABP=ACP=45°. Saludos! -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 9 2010, 04:45 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Aqui http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=6844&hl= generalizado el problema 2: -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 9 2010, 05:45 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	El p3, que está interesante.. Si bien pude haber colocado el numerito en cuestión, me di la lata de colocar el razonamiento que llevó a construir dicho numerito $TEX: Sea $N=\overline {a_1a_2\cdots a_9}$ tal número. Como $9\|N$, se tiene que $9\|\sum_{i=1}^9 a_i$. Por otra parte, hay 10 posibles dígitos (incluyendo al cero), y como tomamos $9$ de ellos, uno de ellos fue desechado. Como $9\|0+1+2+...+9=45$, tenemos que el dígito desechado es múltiplo de $9$; es decir, es $0$ ó $9$. Asumamos que el dígito desechado es $0$.<br /><br />Sea $N_k=\overline {a_1a_2...a_k}$ para $1\leq k\leq8$. Por enunciado, $N_2, N_4, N_6, N_8$ deben ser pares, lo cual implica que $a_2, a_4, a_6, a_8$ son pares; y por lo tanto $(a_2, a_4, a_6, a_8)$ es una permutación de $(2,4,6,8)$.<br /><br />Por otra parte, como $N_3, N_6, N_9$ son múltiplos de $3$, se tiene que la suma de las cifras de cada uno de estos números lo es. Luego, $3\|a_1+a_2+a_3$, $3\|a_4+a_5+a_6$, $3\|a_7+a_8+a_9$ ()<br /><br />\textbf {Criterio 1:} Un natural $A>1000$ es múltiplo de $8$ si y sólo si el número formado al tomar sus tres últimas cifras es múltiplo de $8$<br /><br />\textbf {Dem:} Escribamos $A=1000q+r$, con $q,r$ enteros y $0\leq r<1000$. Si $8\|r$, como $8\|1000q$ se tiene que $8\|A$. Si $8\|A$, se deduce que $8\|r$. $\square$<br /><br />Como $8\|N_8$, tenemos que $8\|\overline {a_6a_7a_8}=100a_6+10a_7+a_8$. Veamos que como $a_6$ es par, se cumple que $200\|100a_6$, lo cual nos lleva a que $8\|100a_6$. Entonces $8\|\overline {a_7a_8}$. Por otro lado, recordemos que $3\|\overline {a_7a_8}$ (debido a ()), y luego tenemos que $24\|\overline {a_7a_8}$. Basta poner $a_7=7$, $a_8=2$<br /><br />Ahora, como $5\|N_5$, es necesario que $5\|a_5$. Como $a_5\not =0$, se colige que $a_5=5$. Luego, como $3\|\overline {a_4a_5a_6}$, tenemos que $3\|a_4+a_5+a_6$, o sea, $a_4+a_6\equiv 1\pmod 3$. Los dígitos $a_4, a_6$ pueden ser iguales a $4,6,8$. Como su suma es múltiplo de $3$, debemos excluir a $8$. Pongamos $a_4=4, a_6=6$. Finalmente, colocando $(a_1,a_2, a_3)=(1,8,3)$, obtenemos que $\boxed {N=183.456.729}$. No es difícil corroborar manualmente que $7\|N_7$ y $4\|N_4$, y el resto de divisibilidades.$\blacksquare$$ Posteo para hacerle recordar a "cierto personaje" que aún tenemos un duelo pendiente que está paralizado (palo detected ). Al leer el post entenderá a que me refiero. Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 9 2010, 06:16 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	xDD Varguitas pavo, te vfalto leer en el enunciado que el cero no podia ser de los digitos, te habrias ahorrado esa linea en tu solucion XD salu2! -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

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