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CEMAT 4° medio, prueba individual

luuchiitoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 4 2009, 08:59 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.832 Registrado: 26-October 07 Desde: concepción Miembro Nº: 11.853 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 1 determinar el valor exacto de la cantidad $TEX: \[<br />s = \sqrt[3]{{25 + 5\sqrt {20} }} + \sqrt[3]{{25 - 5\sqrt {20} }}<br />\]<br />$ Problema 2 considerar un cuadrado ABCD cuyosladon miden 1. Sean E y F los puntos medios de los lados BC y CD, respectivamente. Trazar los segmentos AF, BF y AE. Sea G el punto de intersección entre AE y BF. Determinar el área del triángulo AGF. problema 3 considerar el número $TEX: \[<br />N = \frac{{2^{58} + 1}}<br />{5}<br />\]<br />$ Demostrar que N es un entero. ¿Es un número primo? PD: el problema 1 lo respondí a penas lo ví gracias a las guias del señor kenshin y a los compa dle foro que me habían ayudado con un ejercicio similar. y en el 3 recordé una factorizacióin que nos enseño javier (Alucard) Gracias a Fmat salvé unos problema sen la prueba Si posteamos con spoiler creo que sería más fácil aydar a que otros primero piensen el problema antes de ver la solución Mensaje modificado por luuchiitoo el Jul 4 2009, 09:55 PM -------------------- -la inteligencia no es un privilegio, sino un don en benefio de los hermanos... -un gran don conlleva una gran responzabilidad... -un libro puede saber más que un estudiante, pero es mejor el estudiante, ya que el estudiante es capaz de razonar y pensar (fuera de lo espiritual que también es importante)... Paz y Bien...=)

luuchiitoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 4 2009, 09:54 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.832 Registrado: 26-October 07 Desde: concepción Miembro Nº: 11.853 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	aquí está la primera parte dle problema 3 $TEX: \[<br />N = \frac{{2^{58} + 1}}<br />{5} = \frac{{4^{29} + 1^{29} }}<br />{5} = \frac{{(4 + 1)(4^{28} - 4^{27} + 4^{26} - ... + 4^2 - 4 + 1)}}<br />{5} = (4^{28} - 4^{27} + 4^{26} - ... + 4^2 - 4 + 1)<br />\]<br />$ recordando la factorización de a²ⁿ⁺¹+b²ⁿ⁺¹ (Gracias javier ) la segunda aprte no logré determinar si es o no primo... escuche a un mesie que dijo que se podia por congruencia de modulo 6... Mensaje modificado por luuchiitoo el Jul 4 2009, 09:55 PM -------------------- -la inteligencia no es un privilegio, sino un don en benefio de los hermanos... -un gran don conlleva una gran responzabilidad... -un libro puede saber más que un estudiante, pero es mejor el estudiante, ya que el estudiante es capaz de razonar y pensar (fuera de lo espiritual que también es importante)... Paz y Bien...=)

luuchiitoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 4 2009, 10:02 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.832 Registrado: 26-October 07 Desde: concepción Miembro Nº: 11.853 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	está muchas veces posteado en el foro, y creo que se entiende... a buen entendedor pocas palabras... $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> s = \sqrt[3]{{25 + 5\sqrt {20} }} + \sqrt[3]{{25 - 5\sqrt {20} }} \hfill \\<br /> a = \sqrt[3]{{25 + 5\sqrt {20} }} \hfill \\<br /> b = \sqrt[3]{{25 - 5\sqrt {20} }} \hfill \\<br /> ab = \sqrt[3]{{25 - 5\sqrt {20} }} \cdot \sqrt[3]{{25 + 5\sqrt {20} }} = 5 \hfill \\<br /> (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) \hfill \\<br /> (a + b)^3 = 25 + 5\sqrt {20} + 25 - 5\sqrt {20} + 3 \cdot 5(a + b) \hfill \\<br /> (a + b)^3 = 50 + 15(a + b) \hfill \\<br /> (a + b)^3 - 15(a + b) - 50 = 0 \hfill \\<br /> \left[ {(a + b) - 5} \right]\left[ {(a + b)^2 + 5(a + b) + 10} \right] = 0 \hfill \\<br /> a + b = 5 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ para el final notar que solo 5 es solucion real, las otras soluciones no lo son. Gracias Kenshin, apolonio Cyedeq.... ayudemos para que el secor olímpico siga con vida Mensaje modificado por luuchiitoo el Jul 4 2009, 10:15 PM -------------------- -la inteligencia no es un privilegio, sino un don en benefio de los hermanos... -un gran don conlleva una gran responzabilidad... -un libro puede saber más que un estudiante, pero es mejor el estudiante, ya que el estudiante es capaz de razonar y pensar (fuera de lo espiritual que también es importante)... Paz y Bien...=)

Gaston Burrull	Jul 4 2009, 10:07 PM Publicado: #4
Invitado	... Mensaje modificado por Gaston Burrull el Jul 4 2009, 10:10 PM

Tela Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 5 2009, 01:45 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.032 Registrado: 25-March 09 Desde: Quinta Normal Miembro Nº: 46.018 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema_2.JPG ( 7.26k ) Número de descargas: 3 Problema 2 $TEX: Se toma un punto $H$ como punto medio del segmento $\overline{AF}$, de donde $\overline{HE} // \overline{AB}$$ $TEX: Luego, se tiene un punto $I$ como punto medio del segmento $\overline{FB}$, donde $\overline{HI}$ es mediana de $\overline{AB}$ y el segmento $\overline{IE}$ es mediana de $\overline{FC}$$ $TEX: Por Teorema de Thales se tienen las siguientes proporciones: $\displaystyle \frac{\overline{IG}}{\overline{GB}} = \frac{\overline{EG}}{\overline{GA}} = \frac{1}{4}$. Posteriormente, se toma un punto $K$ de manera que $\overline{GK} // \overline{IE}$, donde también se cumple que $\displaystyle \frac{\overline{EK}}{\overline{KB}} = \frac{1}{4}$$ $TEX: Dando valores:$ $TEX: $\overline{HI} = \displaystyle \frac{1}{2}$ $\overline{IE} = \displaystyle \frac{1}{4}$ $ \overline{EK} = \displaystyle \frac{1}{10}$$ $TEX: $\vartriangle AGF$ = $\vartriangle FHI$ + $\vartriangle AHE$ - $\vartriangle IGE$$ $TEX: $\vartriangle AGF = \displaystyle (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + (\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2})$$ $TEX: $\vartriangle AGF = \displaystyle \frac{1}{8} + \frac{3}{16} - \frac{1}{80}$$ $TEX: $\vartriangle AGF = \displaystyle \frac{24}{80}$$ $TEX: $\vartriangle AGF = \displaystyle \frac{3}{10}cm^2$$ Mensaje modificado por Tela el Jul 6 2009, 03:49 PM

luuchiitoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 5 2009, 08:13 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.832 Registrado: 26-October 07 Desde: concepción Miembro Nº: 11.853 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	alguna solución brillante para a parte b del problema 3 -------------------- -la inteligencia no es un privilegio, sino un don en benefio de los hermanos... -un gran don conlleva una gran responzabilidad... -un libro puede saber más que un estudiante, pero es mejor el estudiante, ya que el estudiante es capaz de razonar y pensar (fuera de lo espiritual que también es importante)... Paz y Bien...=)

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 5 2009, 08:14 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(luuchiitoo @ Jul 4 2009, 11:54 PM) aquí está la primera parte dle problema 3 $TEX: \[<br />N = \frac{{2^{58} + 1}}<br />{5} = \frac{{4^{29} + 1^{29} }}<br />{5} = \frac{{(4 + 1)(4^{28} - 4^{27} + 4^{26} - ... + 4^2 - 4 + 1)}}<br />{5} = (4^{28} - 4^{27} + 4^{26} - ... + 4^2 - 4 + 1)<br />\]<br />$ recordando la factorización de a²ⁿ⁺¹+b²ⁿ⁺¹ (Gracias javier ) la segunda aprte no logré determinar si es o no primo... escuche a un mesie que dijo que se podia por congruencia de modulo 6... Recuerde las sumas geometricas -------------------- blep

luuchiitoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 5 2009, 08:26 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.832 Registrado: 26-October 07 Desde: concepción Miembro Nº: 11.853 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(snw @ Jul 5 2009, 09:14 PM) Recuerde las sumas geometricas que son las sumas geometricas...? las progresiones..? -------------------- -la inteligencia no es un privilegio, sino un don en benefio de los hermanos... -un gran don conlleva una gran responzabilidad... -un libro puede saber más que un estudiante, pero es mejor el estudiante, ya que el estudiante es capaz de razonar y pensar (fuera de lo espiritual que también es importante)... Paz y Bien...=)

VITOKIN Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2009, 05:37 PM Publicado: #9
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 13 Registrado: 12-November 08 Miembro Nº: 38.438	Yo respondi la parte b del problema tres y es super simple. Primero, notemos que las unidades de las potencias de 2 son ciclicas 2^1=2 2^2=4 2^3=8 2^4=16 2^5=32, Y asi sucesivamente 2,4,8 y 6. Asi que si dividimos el exponente por 4 y nos fijamos en el resto de la división podremos saber el digito de la potencia. si el resto es 0, entonces termina en 6, si el resto es 1, entones termina en 2, si es 2 entonces termina en 4 y si es 3 entones termina en 8. Dicho esto es facil demostar que N es entero ya que 58/4, da resto 2, por lo que termina en 4, y mas uno, el numerador termina en 5, por loque el denominador es divisible por 5. Ahora bien, para saber si es primo o no, debemos tratar de probar que el numero no es divisble por enteros distintosde 1 y de si mismo, para esto vamos a factorizar el numerador del numero. Completamos el cuadrado de binomio de la siguienbte manera: 2^58 +1=2^58+2^30-2^30+1 =(2^29+1)^2-2^30 , ahora factorizamos la diferencia de cuadrados que nos quedo: =(2^29+2^15+1)(2^29-2^15+1) Ahora, la potencia de exponente 29, termina en 2 y la potencia 15 termina en 8. La suma 2^29+2^15 termina en 0, por lo que es un multiplo de 5, Lo que podemos expresar como un 5p, donde p es mayor que 1 y menor que N. En el otro parentesis, nos queda que al 2, le debemos restar 8(hablando de las unidades), esto hace pedir al de al lado y portanto la diferencia tiene como unidad el 4, por lo que la unidad de 2^29-2^15 es 4, y mas 1, nos lleva a concluir que el segundo parentesis termina en 5 por lo que es multiplo de 5, lo que podemos escribir como 5q Ordenando nos queda: (5p+1)5q/5=q(5p+1), con p y q mayores que 1 y menores que N, por lo que se concluye que N no es primo, es compuesto. PD: Sorry por la escritura, todavia no manejo el latex

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2009, 07:51 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(VITOKIN @ Sep 14 2009, 06:37 PM) Yo respondi la parte b del problema tres y es super simple. Primero, notemos que las unidades de las potencias de 2 son ciclicas 2^1=2 2^2=4 2^3=8 2^4=16 2^5=32, Y asi sucesivamente 2,4,8 y 6. Asi que si dividimos el exponente por 4 y nos fijamos en el resto de la división podremos saber el digito de la potencia. si el resto es 0, entonces termina en 6, si el resto es 1, entones termina en 2, si es 2 entonces termina en 4 y si es 3 entones termina en 8. Dicho esto es facil demostar que N es entero ya que 58/4, da resto 2, por lo que termina en 4, y mas uno, el numerador termina en 5, por loque el denominador es divisible por 5. Ahora bien, para saber si es primo o no, debemos tratar de probar que el numero no es divisble por enteros distintosde 1 y de si mismo, para esto vamos a factorizar el numerador del numero. Completamos el cuadrado de binomio de la siguienbte manera: 2^58 +1=2^58+2^30-2^30+1 =(2^29+1)^2-2^30 , ahora factorizamos la diferencia de cuadrados que nos quedo: =(2^29+2^15+1)(2^29-2^15+1) Ahora, la potencia de exponente 29, termina en 2 y la potencia 15 termina en 8. La suma 2^29+2^15 termina en 0, por lo que es un multiplo de 5, Lo que podemos expresar como un 5p, donde p es mayor que 1 y menor que N. En el otro parentesis, nos queda que al 2, le debemos restar 8(hablando de las unidades), esto hace pedir al de al lado y portanto la diferencia tiene como unidad el 4, por lo que la unidad de 2^29-2^15 es 4, y mas 1, nos lleva a concluir que el segundo parentesis termina en 5 por lo que es multiplo de 5, lo que podemos escribir como 5q Ordenando nos queda: (5p+1)5q/5=q(5p+1), con p y q mayores que 1 y menores que N, por lo que se concluye que N no es primo, es compuesto. PD: Sorry por la escritura, todavia no manejo el latex Siempre es bueno ir viendo las regularidades, pero hay alguna forma "intuitiva" de probar que el ultimo digito es ciclico??? (pq es ciclico??). Puedes ir viendo inductivamente la ciclicidad, esa es una idea basica pero efectiva. Ahora, hay otra forma de abordar el problema (aplicando congruencia modulo, es un bonito tema muuy abordado aca en fmat, y te podria servir caleta cuando algo no te resulte tan sencillo intuitivamnte). Tu solucion en la parte a) es correcta. La parte b) es correcta, ingeniosa tu factorizacion truculenta. (Ocupaste intuitivamente el Nikita nipone aditivo jeje). Sin embargo, te extendiste un poco mas de lo necesario pq solo te restaba probar que $TEX: $2^{29}-2^{15}+1$$ era multiplo de $TEX: $5$$ Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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