Demostración de Limite (por definición)

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Demostración de Limite (por definición)

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Bnavascu Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 24 2009, 02:09 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 24-June 09 Miembro Nº: 54.490 Nacionalidad: Sexo:	Hola buenas, soy nuevo en el foro y me gustaría plantear un problema. Y si el límite fuera el siguiente: lim ( 4x/(x2 + 1)) = 0 , con x->0. No consigo demostrarlo por la definición de límite. Si alguien me pudiera ayudar. Muchas gracias.

greywar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 24 2009, 04:38 PM Publicado: #2
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 39 Registrado: 17-May 09 Miembro Nº: 51.500 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Creo que está bien. $TEX: \begin{align}<br /> & \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4x}{2x+1} \\ <br /> & Se\text{ tiene que para todo }\varepsilon >0\text{ dado}\text{, }\exists \text{ }\delta >0,\text{ que depende del valor de }\varepsilon \text{, tal que:} \\ <br /> & 0<\left\| x-0 \right\|<\delta \text{ }\Rightarrow \text{ }\left\| \left( \frac{4x}{2x+1} \right)-0 \right\|<\varepsilon \\ <br /> & \text{ }\Rightarrow \text{ }\left\| \left( x\frac{4}{2x+1} \right) \right\|<\varepsilon \\ <br /> & \text{ }\Rightarrow \text{ }\left\| x \right\|\left\| \frac{4}{2x+1} \right\|<\varepsilon \\ <br /> & \text{En el intervalo (-1}\text{,1)}\text{, la expresion }\left\| \frac{4}{2x+1} \right\|\text{ es un maximo para x=0 donde }\left\| \frac{4}{2(0)+1} \right\|=4. \\ <br /> & \text{ }\Rightarrow \text{ }\left\| x \right\|\left\| \frac{4}{2x+1} \right\|<\varepsilon \text{ /:4} \\ <br /> & \text{ }\Rightarrow \text{ }\left\| x \right\|<\frac{\varepsilon }{4}=\delta \\ <br /> & \text{Asi}\text{, reemplazando:} \\ <br /> & Se\text{ tiene que para todo }\varepsilon >0\text{ dado}\text{, }\exists \text{ }\delta >0\text{ }(igual\text{ a }\frac{\varepsilon }{4})\text{, tal que:} \\ <br /> & 0<\left\| x-0 \right\|<\frac{\varepsilon }{4}(\delta )\text{ }\Rightarrow \text{ }\left\| \left( \frac{4x}{2x+1} \right)-0 \right\|<\varepsilon \\ <br />\end{align}$ -------------------- "Ser estúpido, egoista y tener buena salud son tres requisitos para la felicidad, aunque si no se tiene la estupidez, todo está perdido" - Gustave Flaubert

kiragoras Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 21 2013, 01:19 PM Publicado: #3
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 27-May 12 Miembro Nº: 106.526 Nacionalidad: Sexo:	Creo que era x cuadrado en el denominador :/

Escobari Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 15 2015, 02:22 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 11-June 15 Miembro Nº: 138.415 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />Primero realizamos un análisis previo donde se debe encontrar una posible relacion entre el $\delta$ y el $\varepsilon$<br />Para la tarea consiste en encontrar $\delta$ tal que<br /><br />$0<\left \| x-0 \right \|<\delta \Rightarrow \left \| \displaystyle\frac{4x}{x^{2}+1}-0 \right\|<\varepsilon$ <br /><br />Ahora <br />$\left \| \displaystyle\frac{4x}{x^{2}+1} \right\| =\displaystyle\frac{\left \| 4x \right \|}{\left \| x^{2}+1 \right \|}=\displaystyle\frac{4\left \| x \right \|}{\left \| x^{2}+1 \right \|}$<br />Donde hicimos aparecer $\left \| x \right \|$, ahora solo necesitamos acotar $\displaystyle\frac{1}{\left \| x^{2} +1\right \|}$. Como $\delta$ es tan pequeño como se quiera, podemos hacer $\delta\leq 1$, lo que implica que si $0<\left \| x \right \|<\delta $ entonces<br /><br />$ 0<\left \| x \right \|<1 \rightarrow 0<\left \|x^{2} \right \|<1\rightarrow 0<x^{2}<1 \rightarrow 1<x^{2}+1<2$<br />lo que finalmente nos lleva a que $\displaystyle\frac{1}{2}<\displaystyle\frac{1}{x^{2}+1}<1$<br /><br />Y como $\displaystyle\frac{1}{x^{2}+1}$ siempre sera positivo se puede establecer que $\displaystyle\frac{1}{x^{2}+1}=\left \| \displaystyle\frac{1}{x^{2}+1} \right \|=\displaystyle\frac{1}{\left \|x^{2}+1 \right \|}$<br />con esto logramos que:<br />$\displaystyle\frac{1}{2}<\displaystyle\frac{1}{\left \|x^{2}+1 \right \|}<1$<br /><br /><br />Ahora entonces podemos decir que:<br />$\displaystyle\frac{4\left \| x \right \|}{\left \| x^{2}+1 \right \|} =\displaystyle\frac{1}{\left \| x^{2}+1 \right \|}\cdot 4\left \| x \right \|< 1\cdot 4\cdot\delta$<br />Lo que permite deducir que un $\delta =\displaystyle \frac{\varepsilon }{4}$ sirve para la demostración.<br /><br />Ahora realizamos la prueba formal:<br /><br />Sea $\varepsilon >0$ dada. Elegimos $\delta=min\left \{ 1,\displaystyle\frac{\varepsilon }{4} \right \}$. Entonces $0<\left \| x-0 \right \|<\delta$ implica que<br />$\left \| \displaystyle\frac{4x}{x^{2}+1}-0 \right\| =\displaystyle\frac{4\left \| x \right \|}{\left \| x^{2}+1 \right \|}=\displaystyle\frac{1}{\left \| x^{2}+1 \right \|}\cdot 4\left \| x \right \|< 4\cdot\delta=4\cdot\displaystyle\frac{\varepsilon }{4}=\varepsilon$<br />Por lo tanto que da demostrado el límite.<br />$ Mensaje modificado por Escobari el Dec 15 2015, 02:52 PM

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