 El grupo de los cuaterniones |
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 Jun 16 2009, 12:29 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad:  Sexo:   |
 Se corregirá el problema cuando esté completamente resuelto  .
-------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM)  ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza... |
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Aug 25 2009, 03:32 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
![TEX: \noindent Notemos que <br />\[A^2=\left[\begin{tabular}{cc}<br />$-1$&$0$\\<br />$0$&$-1$<br />\end{tabular}\right]=-I,\]<br />de donde sigue que $A^3=A^2A=-A$ y $A^4=A^3A=-A^2=I$. Luego, es fácil ver que $<A>$ está compuesto por 4 elementos.\\<br />\\<br />Análogamente, notamos que <br />\[B^2=\left[\begin{tabular}{cc}<br />$-1$&$0$\\<br />$0$&$-1$<br />\end{tabular}\right]=-I=A^2=-A^4,\]<br />y sigue que $B^3=B^2B=-B$ y $B^4=B^2B^2=I=A^4$. Luego, es fácil ver que $<B>$ está compuesto por 4 elementos.\\<br />\\<br />Con esto, podemos ver que \[G=<A>\cdot <B>=\left\{XY/X\in <A>,Y\in <B>\right\},\] contiene a cada uno de los elementos mencionados y por lo tanto, tiene al menos 6 elementos (ya que los únicos que se repetían eran $A^2,B^2A^4,B^4$ y los dos últimos correspondían a la identidad).\\<br />\\<br />También, notemos que $AB=A^3B^3,-AB=A^3B=AB^3$ y además, $A$ y $B$ anticonmutan (se deja como trabajo bruto al lector) y cumplen que $\left(AB\right)^2=I$.\\<br />\\<br />Por todo lo anterior,<br />\[G=\left\{A,B,\underbrace{-I}_{A^2=B^2},\underbrace{-A}_{A^3},\underbrace{-B}_{B^3},\underbrace{I}_{A^4=B^4},AB,BA\right\}\]<br />es cerrado bajo la composición de matrices usual. Además, como la composición de matrices es asociativa, también lo es en $G$. Dado que la identidad está en $G$, existe el neutro y también se puede ver fácilmente que cada elemento tiene a su inverso (para las dos últimas, recordar que $A$ y $B$ anticomutan) y por lo tanto, es un grupo no abeliano que conocemos como $G_8$ pues $|G|=8$.<br />\begin{flushright}<br />$\square$<br />\end{flushright}<br /><br />](./tex/9b059a7098fb012ec3a95fd536cd5751.png)
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![TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]](./tex/e0e88dba678ca3ead120b088f41191b2.png)
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