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Prueba M2 Grupal, IX región

Versuchung Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 15 2009, 12:27 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 399 Registrado: 14-August 07 Desde: Temuco Miembro Nº: 8.739 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 1$ $TEX: Un número primo es un entero mayor que uno que solo puede dividirse por 1 y por si mismo. Algunos número primos son 2, 3, 5, 7,11,...$ $TEX: Encuentra todos los números primos que sean iguales al cuadrado de un entero menos 1$ $TEX: Problema 2$ $TEX: Los números 4 y 9 son cuadrados perfectos, y con ellos puede formarse el número de dos dígitos 49, que también es un cuadrado perfecto.¿Cuántos cuadradados perfectos de tres dígitos pueden formarse con dos cuadrados perfectos? (uno de un dígito y otro de dos dígitos, o viceversa).$ $TEX: Problema 3$ $TEX: Un número primo es un entero mayor que uno que solo puede dividirse por 1 y por si mismo. Algunos número primos son 2, 3, 5, 7,11,...$ $TEX: Usando una vez cada uno de los dígitos 1, 2 y 3 se pueden construir los números primos 13 y 2. Construir seis números primos usando una vez cada uno de los dígitos del 0 al 9.$ $TEX: Problema 4$ $TEX: Encontrar el menor nùmero entero N tal que$\displaystyle \frac{1}{2}$N es el cuadrado de un entero $\displaystyle \frac{1}{3}$N es el cubo de un entero.$ $TEX: Problema 5$ $TEX: Un número primo es un entero mayor que uno que solo puede dividirse por 1 y por si mismo. Algunos número primos son 2, 3, 5, 7,11,...$ $TEX: Los números 3, 5 y 7 son tres números primos cuya diferencia es 2. ¿Existe otro trio de números primos con diferencia 2?$ -------------------- Estudiante Ingeniería Civil Matemática - UFRO 09 Ex Alumna Instituto Victoria - IV° A 08

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 16 2009, 03:04 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	1. $TEX: $p= k^{2}-1 = (k-1)(k+1)$$ implica que k-1 = 1 ó k+1=1. La segunda opción no es factible y de ahí que k tenga que ser igual a 2. Luego, sólo hay un primo que puede expresarse como la diferencia de un cuadrado perfecto y uno. Dicho primo es 3. 2. Si se descartan los números de 3 dígitos que empiezan por la izquierda con 0, se tienen sólo 2 posibilidades: 16-9, 36-1. 3. 2, 3, 5, 401, 67, 89. 4. El número es divisible entre 6. Cuando se quita un dos de su factorización prima queda un cuadrado perfecto. Luego, el número debe ser divisible por $TEX: $2 \cdot 3 \cdot 3$$ . De la segunda condición dada se concluye ahora que el menor natural que satisface ambas condiciones es $TEX: $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 6^{2} = 648$$ . 5. No hay otra tercia. Para que los tres sean primos el primero tiene que ser impar y por tanto todos deben serlo. Luego, es sólo cosa de estudiar a la lista (2n+1, 2n+3, 2n+5) en módulo 3. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

grap-it! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 17 2009, 12:08 AM Publicado: #3
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 8 Registrado: 16-June 09 Miembro Nº: 54.011 Nacionalidad: Sexo:	terminando la 5: $TEX: \noindent Se tiene que $2n+1 \equiv 1$ (mod 3) $\veebar$ $2n+1 \equiv 2$ (mod 3) , ya que no pueden ser multiplos de 3.<br /><br />En el primer caso: $2n+1 \equiv 1 \Rightarrow 2n+3 \equiv 3 \equiv 0$ , por lo que no puede ser primo.<br /><br />En el segundo: $2n+1 \equiv 2 \Rightarrow 2n+3 \equiv 4 \Rightarrow 2n+5 \equiv 6 \equiv 0$ ,por lo que tampoco puede serlo.<br />$ P.D: En el 2, si consideramos $TEX: $0^2=0$$ , se podria pensar tambien en 100, 400, 900; o el 0 no es cuadrado perfecto???? saludos.

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 17 2009, 10:54 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	CITA(grap-it! @ Jun 17 2009, 12:08 AM) En el 2, si consideramos $TEX: $0^2=0$$ , se podria pensar tambien en 100, 400, 900; o el 0 no es cuadrado perfecto???? El cuadrado de tres dígitos se tiene que formar concatenando un cuadrado perfecto de un dígito y uno de dos dígitos. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

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