Desigualdad de Shapiro - Foro fmat.cl

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Desigualdad de Shapiro, Intentando generalizar Nesbitt

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~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 14 2009, 01:22 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	[Primero que nada veamos la Desigualdad de Nesbitt: Desigualdad de Nesbitt: Sean $TEX: $a,b,c>0$$ . Entonces se cumple que: $TEX: $\displaystyle \sum_{ciclica} \displaystyle \frac{a}{b+c}=\displaystyle \frac{a}{b+c}+\displaystyle \frac{b}{c+a}+\displaystyle \frac{c}{a+b}\ge \displaystyle \frac{3}{2}$$ Demostracion: Vea aqui, donde hay 9 demostraciones posteadas por The Lord, CAPQ, caf tito, tebas, Luffy, PaulRS, Retro 15, Kaissa y Kain#13 $TEX: $\blacksquare$$ Ahora se intentara ir un poco mas lejos, es decir, en vez de considerar 3 variables, considerar mas variables, como se hizo aqui, donde caf tito demostro una desigualdad equivalente para 5 variables. Como resultado de esto, H. Shapiro conjeturo en 1954 $TEX: $P(n)$$ para todo $TEX: $n$$ natural, sin embargo se hallaron contraejemplos para $TEX: $n=14$$ y $TEX: $n=25$$ . No obstante, en 1963 Diananda demostro que: i) Si $TEX: $P(n)$$ es verdadero para $TEX: $n$$ par, para todo $TEX: $m<n$$ se cumple que $TEX: $P(m)$$ es verdadero ii) Si $TEX: $P(n)$$ es falso para $TEX: $n$$ impar, entonces $TEX: $P(m)$$ es falso para $TEX: $m>n$$ Se demostro que $TEX: $P(12)$$ es cierto, sin embargo aun falta comprobar la veracidad de $TEX: $P(23)$$ (problema abierto). Con estas consideraciones, se puede concluir: Desigualdad de Shapiro: Sea $TEX: $n\in \mathbb{N}$$ , y $TEX: $x_{1}, x_{2},...,x_{n}\in \mathbb{R^+}$$ . Suponga que $TEX: $n$$ es par, $TEX: $n<14$$ o en otro caso, $TEX: $n$$ es impar, con $TEX: $n<25$$ . Entonces se cumple que: $TEX: $P(n)=\displaystyle \sum_{ciclica} \displaystyle \frac{x_{1}}{x_{2}+x_{3}}=\displaystyle \frac{x_{1}}{x_{2}+x_{3}}+\displaystyle \frac{x_{2}}{x_3+x_4}+...+\displaystyle \frac{x_n}{x_1+x_2}\ge \displaystyle \frac{n}{2}$$ Mensaje modificado por Kain #13 el Jun 14 2009, 01:23 PM -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."