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> concurrencia, hexagono conciclico
felipesua
mensaje Jun 9 2009, 09:48 PM
Publicado: #1


Principiante Matemático Destacado


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TEX: Sea $\Delta$ABC con L,L' sobre BC, M,M' sobre AC y N,N' sobre AB tal que L,L',M,M',N,N' son conciclicos.<br />Demostrar que AL, BM, y CN concurren si y solo si AL', BM', y CN' concurren.
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iMPuRe
mensaje Jun 9 2009, 10:27 PM
Publicado: #2


Doctor en Matemáticas
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Mensaje modificado por iMPuRe el Jun 9 2009, 10:28 PM


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sí-sí el residen...
mensaje Jun 11 2009, 09:38 PM
Publicado: #3


Puntaje Nacional PSU Matemáticas Admisión 2010
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Supongamos que TEX: AL', BM' y CN' concunrren

Archivo Adjunto  aaa.png ( 188.3k ) Número de descargas:  3


Entonces como concurren, por el teorema de Ceva tenemos

TEX: $\dfrac{CL'}{L'B}\cdot \dfrac{BN'}{N'A} \cdot \dfrac{AM'}{M'C}=1$
Y esto reordenando queda
TEX: $\dfrac{CL'}{M'C}\cdot \dfrac{BN'}{L'B} \cdot \dfrac{AM'}{N'A}=1$ (1)
Ahora por potencia de un punto tenemos

TEX: $CL\cdot CL'=CM'\cdot CM$
TEX: $\dfrac{CL'}{CM'}=\dfrac{CM}{CL}$


TEX: $BL'\cdot BL=BN'\cdot BN$
TEX: $\dfrac{BL'}{BN'}=\dfrac{BN}{BL}$

TEX: $AM\cdot AM'=AN\cdot AN'$
TEX: $\dfrac{AM'}{AN'}=\dfrac{AN}{AM}$

Luego reemplazando en (1) queda
TEX: $\dfrac{CM}{CL}\cdot \dfrac{BN}{BL}\cdot \dfrac{AN}{AM}=1$
Reordenando

TEX: $\dfrac{BL}{CL}\cdot \dfrac{CM}{AM}\cdot \dfrac{AN}{BN}=1$

Luego por ceva TEX: AL, BM Y CN concurren
pozo2005_bylaope.gif





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Kaissa
mensaje Jun 22 2013, 12:53 PM
Publicado: #4


Dios Matemático Supremo
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Si las tres primeras líneas concurren, entonces el teorema de Terquem asegura que las otras tres también (generando el llamado punto cicloceviano conjugado).


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