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Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Consultas > Banco de Problemas Resueltos > Variable Compleja  |
 Jun 9 2009, 10:33 AM
Publicado:
#1
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Principiante Matemático Destacado  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 21 Registrado: 17-November 08 Miembro Nº: 38.795 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Sexo:   |
Encuentre el comjunto solucion de las siguientes ecuaciones en C. Para ello escriba z=x+iy resuelva. A que lugar geometrico en R^2 corresponde cada conjunto?
|(z+3i)/(z-3)|=2 |
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Jun 10 2009, 05:02 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 874 Registrado: 18-October 07 Desde: The Matrix... Miembro Nº: 11.478 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
CITA(330 @ Jun 9 2009, 12:33 PM)  Encuentre el comjunto solucion de las siguientes ecuaciones en C. Para ello escriba z=x+iy resuelva. A que lugar geometrico en R^2 corresponde cada conjunto? |(z+3i)/(z-3)|=2 Primero, como dice el enunciado, hacemos z = x+yi, reemplazamos y reordenamos, para proseguir el desarrollo: ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \left| {\frac{{z + 3i}}<br />{{z - 3}}} \right| = \left| {\frac{{x + \left( {y + 3} \right)i}}<br />{{\left( {x - 3} \right) + yi}} \cdot \frac{{\left( {x - 3} \right) - yi}}<br />{{\left( {x - 3} \right) - yi}}} \right| = \left| {\frac{{x\left( {x - 3} \right) - xyi + \left( {x - 3} \right)\left( {y + 3} \right)i + y\left( {y + 3} \right)}}<br />{{\left( {x - 3} \right)^2 + y^2 }}} \right| = \hfill \\<br /> = \left| {\frac{{x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y + 3} \right)}}<br />{{\left( {x - 3} \right)^2 + y^2 }} + \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {y + 3} \right) - xy}}<br />{{\left( {x - 3} \right)^2 + y^2 }}i} \right| = 2 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/a8043845c0d58a09d50988167aff9def.png) ecuación que puede reescribirse como ![TEX: \[<br />\left[ {x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y + 3} \right)} \right]^2 + \left[ {\left( {x - 3} \right)\left( {y + 3} \right) - xy} \right]^2 = 4\left[ {\left( {x - 3} \right)^2 + y^2 } \right]^2 <br />\]](./tex/76df14971a81d490489e78d8778da7b5.png) Desarrollando el lado izquierdo: ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> x^2 \left( {x - 3} \right)^2 + 2xy\left( {x - 3} \right)\left( {y + 3} \right) + y^2 \left( {y + 3} \right)^2 + \left( {x - 3} \right)^2 \left( {y + 3} \right)^2 - \hfill \\<br /> - 2xy\left( {x - 3} \right)\left( {y + 3} \right) + x^2 y^2 = x^2 \left( {x - 3} \right)^2 + y^2 \left( {y + 3} \right)^2 + \left( {x - 3} \right)^2 \left( {y + 3} \right)^2 + x^2 y^2 = \hfill \\<br /> = \left( {x - 3} \right)^2 \left[ {x^2 + \left( {y + 3} \right)^2 } \right] + y^2 \left[ {x^2 + \left( {y + 3} \right)^2 } \right] = \left[ {x^2 + \left( {y + 3} \right)^2 } \right]\left[ {y^2 + \left( {x - 3} \right)^2 } \right] \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/85f2478ee8ba3848270029a162292834.png) de modo que la ecuación se reduce a ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \left[ {x^2 + \left( {y + 3} \right)^2 } \right]\left[ {y^2 + \left( {x - 3} \right)^2 } \right] = 4\left[ {\left( {x - 3} \right)^2 + y^2 } \right]^2 \Rightarrow \hfill \\<br /> \Rightarrow \left[ {y^2 + \left( {x - 3} \right)^2 } \right]\left[ {x^2 + \left( {y + 3} \right)^2 - 4} \right] = 0 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/538b6fa87e94146c3419b909da38fd0d.png) de donde obtenemos dos ecuaciones: la primera de ellas nos lleva a ![TEX: \[<br />y^2 + \left( {x - 3} \right)^2 = 0<br />\]](./tex/ee11c9511f4ec0483eefb2bd20143839.png) que corresponde a una circunferencia de centro en (3,0) y de radio cero, es decir, única y exclusivamente se trata del punto (3,0). La segunda ecuación resulta ser ![TEX: \[<br />x^2 + \left( {y + 3} \right)^2 = 4<br />\]](./tex/1e0e6677e6c88ae20b6b3b730a1a2421.png) que corresponde a una circunferencia de centro en (0,-3) y radio 2. -------------------- |
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Aug 13 2010, 02:26 PM
Publicado:
#3
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Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 24-October 09 Miembro Nº: 60.859 Sexo: |
no entiendo tu traspaso de ecuaciones http://www.fmat.cl/tex/538b6fa87e94146c3419b909da38fd0d.png lo podrias hacer un poco mas claro por favorr muchas gracias
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Aug 13 2010, 02:49 PM
Publicado:
#4
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Sexo:  |
se salto un paso: la factorizacion.
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