Tercer Nivel Individual, ...con un especial problema 2 Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

En el problema que pusimos, en la prueba del CMAT de ayer, no había que regirse por la ley de reflexión, a decir verdad el dibujo lo refleja bien. La situación general vale, incluso variando el total de impactos en las murallas (siguiendo ciertas reglas)

Hagan el problema propuesto por Cesarator, que es muy adecuado para este contexto, si bien el problema es de otra naturaleza

[dex]

tengo una solucion que quiero psotear para el problema dos, con argumento y descarte de todas las posibilidades que se asumen antes del tal conocido 105 partidos
el argumento es bastante largo asi que lo escribire en estos dias con mas tiempo =)

eso =)

[Invitadopolita_*]

van a poner las soluciones dlos problemas grupales?

[S. E. Puelma Moy...]

La prueba por equipos se va a publicar como un tema aparte en este subforo, en cuanto alguien se consiga los enunciados de todos los niveles y se anime a compartirlos. Hasta ahora yo he publicado un par de pruebas por equipos, porque me había conseguido los enunciados. Pero ahora no lo tengo

Como las pruebas por equipos siempre tienen muchas preguntas en común, de un nivel a otro, mi sugerencia es publicar todos los problemas juntos, sin repetición. Como modelo de esto, están las pruebas por equipos de la tercera fecha (teoría de números) y de la cuarta fecha (construcciones sólo con una "regla especial")

Se espera la solución para el problema 2, además de una solución para la inquietud propuesta por cflores. Se pide hacer un camino mínimo desde A hasta B, rebotando en los lados AB y CD, alternadamente, una cierta cantidad de veces (en este caso son 7), y hacer observaciones de congruencia, semejanza o de la ley de reflexión

[dex]

Solucion para el problema 2


Bueno en este problema dos, lo complicado es argumentar =) hay va

* Son n jugadores zurdos y 2n jugadores diestros
* Se jugaron menos de 120 partidos
* La razón entre la victoria de los zurdos y las victorias de los diestros es de 3:4
* Cada jugador enfrento a cada uno de los otros jugadores

Bueno partiremos analizando la cantidad de partidos jugados. primero denotaremos por “Nz” la cantidad de jugadores zurdos y por “Nd” la cantidad de jugadores diestros.
Veremos que la cantidad de partidos jugados entre los zurdos se determina con la formula
( Nz! / K!*(Nz-K)! ) con K = 2 , debido a que la cantidad de jugadores por partido es de 2 .
Análogamente para los partidos de los diestros, ocuparemos la formula ( Nd! / K!*(Nd-K)! ) con K = 2, debido a que la cantidad de jugadores por partido.
Ahora que determinamos una formula para los partidos entre zurdos, y partidos entre diestros, solo falta una para partidos entre Zurdos y diestros. Simplemente ocupamos una combinación con formula :
Nz * Nd , debido a que cada zurdo se enfrentara a todos los diestros, sin repetir partidos.
Con esto nos queda una formula para determinar la cantidad de partidos jugados.

Partidos jugados = ( Nz! / K!*(Nz-K)! ) + ( Nd! / K!*(Nd-K)! ) + (Nz * Nd)

Ahora analizaremos la propiedad de estos partidos jugados, tenemos dos datos sumamente importantes que nos llevaran a discriminar varias soluciones, primero, la cantidad de partidos es “menor a 120”, y la más importantes las victorias están en la razón de 3:4 .. con esta ultima determinaremos lo siguiente:
Si la cantidad de partidos pertenece a los números naturales (debido a que no se puede jugar 0,78 partido, obviamente) entonces la razón que está las victorias da lugar a una cantidad Natural de partidos. Por propiedad de razones (si se puede llamar a sí ) tenemos que: Los partidos ganados tienen la forma 7*K con K Є Ν (naturales) debido a que 7*K = (3+4)*K , con esto determinamos también directamente que las victorias de los zurdos son de la forma 3*K y la de los diestros 4*K.

Debemos entonces analizar los casos en los que se cumpla, para ello debemos analizar caso por caso.

(n=1) Nz =1 y Nd =2 => ( 1! / 2!*(1-2)! )+ ( 2! / 2!*(2-2)! ) + (1 * 2) = 0+1+2 = 3 partidos
entonces se descarta para n=1 debido a que: 3 no tiene la forma 7*K con K natural.

(n=2) Nz =2 y Nd=4 => ( 2! / 2!*(2-2)! )+( 4! / 2!*(4-2)! )+(2 * 4) = 1 + 6 + 8 = 15 partidos
entonces se descarta para n=2 debido a que: 15 tampoco tiene la forma 7*K con K natural

(n=3) Nz =3 y Nd = 6 => ( 3! / 2!*(3-2)! )+( 6! / 2!*(6-2)! )+(3 * 6) = 3 + 15 + 18 = 36 partidos
entonces se descarta para n=3 debido que: 36 no tiene la forma 7*K con K natural

(n=4) Nz = 4 y Nd = 8 => ( 4! / 2!*(4-2)! )+( 8! / 2!*(8-2)! )+(4 * 8) =6 + 28 + 32 = 66 partidos
también se descarta para n=4 debido que: 66 no tiene la forma 7*K con K natural

(n=5) Nz = 5 y Nd = 10 => ( 5! / 2!*(5-2)! )+( 10! / 2!*(10-2)! )+(5 * 10) = 10 + 45 + 50 = 105 partidos
esta con n=5 da solución al problema ya que cumple que 7*k con k=15

(n=6) Nz = 6 y Nd = 12 => ( 6! / 2!*(6-2)! )+( 12! / 2!*(12-2)! )+(6 * 12) = 15 + 66 + 72 = 153 partidos
con n=6 nos percatamos que la cantidad de partidos no cumple el requisito de Menos de 120 partidos, asi que todo n > o = a 6 no sirve.
Con lo anterior podemos percatarnos que la única solución que nos da es para n=5, con K=15 ahora debemos responder las preguntas

“ Obtenga el valor de n “ => De acuerdo con lo anterior, determinamos que solo la cantidad de jugadores zurdos (n o Nz) es de 5 jugadores zurdos
“el numero de victoria de los jugadores zurdos ” => La cantidad de victoria de los jugadores zurdos (Nz) es de la forma 3*K (arriba el porque), es decir, la cantidad de victoria de los jugadores zurdos en el torneo fue de 45 victorias .

[SeBaSPiPPiN]

Pal problema 1, la cuestion es refacil: notese q las bases de los triangulos suman en total "b", por lo que cada base es b*x, b*x1, b*x2 y b*x3, donde x, x1, x2 y x3 son numeros >1.
ahora bien:

b*x + b*x1 + b*x2 + b*x3=b
b(x+x1+x2+x3)=b /:b
x+x1+x2+x3=1

ahora, las areas de los triangulos serian: ab*x/2, ab*x1/2, ab*x2/2 y ab*x3/2
el area total entonces de los triangulos es:
ab*x/2 + ab*x1/2 + ab*x2/2 + ab*x3/2=
ab/2(x+x1+x2+x3)=ab/2 {(x+x1+x2+x3)=1}
suma de las areas de los triangulos es ab/2

weno eso, chaus, me da flojera escribir el problema 2, xD