Tercer Nivel Individual, ...con un especial problema 2 Opciones

[Rurouni Kenshin]

Bueno..y aca el tercer nive...con un problema 1 bien simple..y un dos..bueno...muy similar a uno de olimpiada nacional.En resumen...una prueba entretenida

[Pily]

Voy a postear al primero pero solamente porque quedé picada ya que me equivoqué en una estupidez. Además que hace tiempo no posteo ¬¬


Debemos saber que los triángulos que describa la bola al chocar con los lados de la mesa no necesariamente son iguales en base, pues uno nunca sabe con exactitud cuál será el rumbo que desee tomar la bolita =P...así que no hay que dejarse llevar mucho por el dibujo.
Ya, sea o la base del triángulo 1; p la base del triángulo 2; q la base del triángulo 3; r la base del triángulo 4.
Sabemos que el área de un triángulo es [base · altura]/2
Todos los triángulos poseen la misma altura, que es "a", el lado menor del rectángulo.
Entonces el área achurada (área de los 4 triángulos) sería:
[base1 · altura]/2 + [base2 · altura]/2 + [base3 · altura]/2 + [base4 · altura]/2
[o · a]/2 + [p · a]/2 + [q · a]/2 + [r · a]/2 -> Factorizamos por a/2
a/2 · [o + p + q + r]
Pero si nos damos cuenta, la suma o+p+q+r corresponde al lado mayor del rectángulo, que es "b"...Así que reemplazando por eso...
a/2 · b => ab/2

[Rurouni Kenshin]

Voy a postear al primero pero solamente porque quedé picada ya que me equivoqué en una estupidez. Además que hace tiempo no posteo ¬¬


Debemos saber que los triángulos que describa la bola al chocar con los lados de la mesa no necesariamente son iguales en base, pues uno nunca sabe con exactitud cuál será el rumbo que desee tomar la bolita =P...así que no hay que dejarse llevar mucho por el dibujo.
Ya, sea o la base del triángulo 1; p la base del triángulo 2; q la base del triángulo 3; r la base del triángulo 4.
Sabemos que el área de un triángulo es [base · altura]/2
Todos los triángulos poseen la misma altura, que es "a", el lado menor del rectángulo.
Entonces el área achurada (área de los 4 triángulos) sería:
[base1 · altura]/2 + [base2 · altura]/2 + [base3 · altura]/2 + [base4 · altura]/2
[o · a]/2 + [p · a]/2 + [q · a]/2 + [r · a]/2    -> Factorizamos por a/2
a/2 · [o + p + q + r]
Pero si nos damos cuenta, la suma o+p+q+r corresponde al lado mayor del rectángulo, que es "b"...Así que reemplazando por eso...
a/2 · b => ab/2

Respuesta simplemente impecable
Felicidades...
Sigan asi
Saludos

[Pily]

Gracias, gracias... Pero = quedé picada porque me equivoqué en la justificación formal de la prueba...será no más...
Me gustaría que alguien posteara la solución exacta y completa al P2, porque sé los resultados pero no el cómo se llega bien...Por favor...

[Pamelosky]

aa ver recordando lo q hice en la prueba era algo asi.....

1º Busque una formula para sacar la cantidad de partidos......

n(n-1) donde "n" es la cantidad de jugadores en total
________
2



2º Buscando un numero cualquiera que me diera menos de 120 partidos jugados me salio el 15, y con el 16 daba justo 200 partidos pero al seguir las operaciones daban resultados decimales y no podia ser.

15(15-1)
_______
2

15* 14
______
2

210
____
2

R= 105 partidos jugados



3º Si eran 105 partidos en total ocupamos la razón que daban de informacion para sacar las cantidad de victorias de jugadores zurdos y diestros.

105:(3+4)=
105:7= 15

15*3= 45 LA CANTIDAD DE VICTORIAS DE JUGADORES ZURDOS

15*4= 60 LA CANTIDAD DE VICTORIAS DE JUGADORES DIESTROS.


4º Ocupando el número que dio como jugadores total que era 15 sacamos la cantidad de jugadores zurdos y diestros.

n+2n=15
3n=15
n=15/3
n=5

5º ENTONCES EL VALOR DE "n" ES 5.

Y EL NÚMERO DE VICTORIAS DE LOS JUGADORES ZURDOS ES 45.



y eso seria xD

[MasterIN®]

SOLUCION PROBLEMA 2

Primero veamos que hay n(n-1)/2 partidos donde se enfrentan un zurdo con otro zurdo. Esto es simple, es como la "formula de los abrazos". Primero yo no puedo juegar conmigo mismo (n-1). Esto ocurre n veces. Y como si a juega con b es lo mismo que b jugue con a, lo dividimos por 2.

Además hay n(2n-1) partidos donde se enfrentan un diestro con otro diestro. Aquí es lo mismo. Yo no puedo jugar conmigo mismo (2n-1), luego esto ocurre 2n veces, y como si s juega con t es lo mismo que t juegue con s, lo dividimos por 2.
Osea... 2n(2n-1)/2 = n(2n-1).

Y 2n^2 partidos donde se enfrentan un derecho con un zurdo. Es cosa de multiplicar n por 2n. Osea n*2n= 2n^2.

Así el total de partidos es n(n-1)/2 + 2n^2 + n(2n-1) ... y haciendo cálculos:
n^2 - n + 2n^2 + 2n^2 - n = (n^2 +8n^2 - 3n) / 2 = (9n^2 - 3n)/2 = 3n(3n-1)/2

Además nos dice que el total de partidos es menor que 120, por lo que tenemos:
3n(3n-1)/2 < 120
3n(3n-1) < 240
n(3n-1) < 80
3n^2 - n < 80 , de donde concluimos que los únicos valores posibles para n son:

n= 1 , n=2 , n=3 , n=4 , n= 5.

Esto último es porque con:

n=1 ==> 3*1-1= 2 ==> 2 <80 (se cumple)
n=2 ==>3*4 - 2 = 10 ==> 10<80 (se cumple)
n=3 ==>3*9 - 3 = 24 ==> 24<80 (se cumple)
n=4 ==>3*16- 4 = 44 ==> 44<80 (se cumple)
n=5 ==>3*25 -5 = 75-5 ==>70<80 (se cumple)
y veamos que pasa con n=6 ==> 3*36 - 6= 102 ==> 102<80 (==><==) FALSO.
Entonces, es obvio que para cualquier entero n>=6 entonces, 3n^2-n>80.

Luego, tambien nos dice el enunciado que la razón de las victorias de los zurdos y las victorias de los jugadores derechos es de 3:4.

Designemos por x (que original ) al número de victorias de los diestros en los 2n^2 partidos en los cuales se enfrentan con los zurdos. Por tanto los zurdos ganan a los diestros 2n^2 - x partidos.

Formando la proporción queda:

Victorias zurdos .... n(n-1)/2 + 2n^2 - x ........ 3
-------------------- = -------------------------- = -------
Victorias Diestros ...... n(2n-1) + x .............. 4

Si alguien tiene dudas en eso... es simple... en cada enfrentamiento zurdo - zurdo, gana un zurdo. Por lo que si son n(n-1)/2 partidos, hay n(n-1)/2 victorias zurdas. Con los diestros es lo mismo, y lo de la x ya esta explicado. Hagamos los cálculos:

4 [n(n-1)/2 + 2n^2 - x ] = 3 [ n(2n-1) + x ]
4 [(n^2-n)/2 + 2n^2 -x ] = 3 [2n^2 - n + x ]
2n^2 - 2n + 8n^2 - 4x = 6n^2 - 3n + 3x /+2n
10n^2 - 4x= 6n^2 - n + 3x /+5x
4n^2 + n = 7x

Entonces, 4n^2 + n es divisible por 7. Reemplazemos eso por los posibles valores de n.

n= 1 ==> 4*1 + 1 = 5 .. no da
n= 2 ==> 4*4 + 2 = 18 ... no da
n= 3 ==> 4*9 + 3 = 30 ...no da
n= 4 ==> 4*16+ 4 = 68... no da
n= 5 ==> 4*25 +5 = 105 ... si da (x= 15)

Y eso sería ps....gracias.. .. toncs, hay 5 zurdos, 10 diestros, se jugaron 105 partidos, en los cuales los zurdos obtuvieron en total 45 victorias, los diestros 60 victorias, y además los diestros ganaron 15 partidos a los zurdos (de los 50 que jugaron contra los zurdos).

Ia..y eso ps...no era tan complicado al fin y al cabo...se parece a uno de la clasificacion para la nacional del año pasado (nivel mayor), pero aquí ayuda mucho el hecho que diga en el enunciado que la cantidad de partidos jugados es menor que 120....y..no hay +

au revoir...

by mAsTeR®

Nota: Gracias a Francisco por revisarme la solución antes de postearla.

EDITADO..... QUEPD... JAJAJA QUED

[Rurouni Kenshin]

aa ver recordando lo q hice en la prueba era algo asi.....

1º Busque una formula para sacar la cantidad de partidos......

  n(n-1)            donde "n" es la cantidad de jugadores en total
________
  2
2º Buscando un numero cualquiera que me diera menos de 120 partidos jugados me salio el 15, y con el 16 daba justo 200 partidos pero al seguir las operaciones daban resultados decimales y no podia ser.

15(15-1)
_______
    2

15* 14
______
    2

210
____
2

R= 105 partidos jugados
3º Si eran 105 partidos en total ocupamos la razón que daban de informacion para sacar las cantidad de victorias de jugadores zurdos y diestros.

105:(3+4)=
105:7= 15

15*3= 45  LA CANTIDAD DE VICTORIAS DE JUGADORES ZURDOS

15*4= 60  LA CANTIDAD DE VICTORIAS DE JUGADORES DIESTROS.
4º Ocupando el número que dio como jugadores total que era 15 sacamos la cantidad de jugadores zurdos y diestros.

n+2n=15
3n=15
n=15/3
n=5

5º ENTONCES EL VALOR DE "n" ES 5.

    Y EL NÚMERO DE VICTORIAS DE LOS JUGADORES ZURDOS ES 45.
y eso seria xD

El unico defecto de esta solucion es que estas asumiendo como 105 el numero de partidos jugados...cuando en realidad hasta ese momento lo que mas se sabia era que resultaba ser el maximo posible..pero perfectamente podria haber sido otro valor menor a ese...de todas formas le acertaste a la solucion pero ahi ese paso quedo un poco mas justificado..pero tuviste suerte
Ahora no se si te den todo el puntaje..pues esa parte es importante dentro del problema..pero de todas formas llegaste a la respuesta correcta a traves de razonamientos correctos...
Asi que todo bien
Saludos

[Rurouni Kenshin]

Primero veamos que hay n(n-1)/2 partidos donde se enfrentan un zurdo con otro zurdo. n(2n-1) partidos donde se enfrentan un diestro con otro diestro, y 2n^2 partidos donde se enfrentan un derecho con un zurdo.

Seria bueno que explicaras eso con un poco mas de detalle pues lo llegaste y lo lanzaste y no hubo ninguna explicacion al respecto

Así el total de partidos es n(n-1)/2 + 2n^2 + n(2n-1) ... y haciendo cálculos:
n^2 - n + 2n^2 + 2n^2 - n = (n^2 +8n^2 - 3n) / 2 = (9n^2 - 3n)/2 = 3n(3n-1)/2

No capto porque si fue tan facil que dijeras lo anterior sin explicarlo..porque aca sumaste en vez de razonar de la misma manera

3n^2 - n < 80 , de donde concluimos que los únicos valores posibles para n son:

n= 1 , n=2 , n=3 , n=4 , n= 5.

Nuevamente otro paso sin ninguna justificacion(generalmente estas son muy breves..pero tienen que estar..eso tenganlo siempre presente)

Por lo que si son n(n-1)/2 partidos, hay n(n-1) victorias zurdas.

Error de tipeo?

se parece a uno de la clasificacion para la nacional del año pasado (nivel mayor)

Se parece?adondeeeeeeeeeeeee jajajajajaja
http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=4 en el p2....adonde que se parece...si ahi decia hombres y mujeres...y aca zurdos y diestros...hahaha..cambiaba el enunciado
(Fuera de bromas..este era bastante mas simple que el de la nacional pues la condicion de <120 reducia enormemente los valores a probar...no asi en la nacional)



Bueno..en aspectos generales tu solucion es impecable..pero solo hago enfasis es que tienes que justificar algunas cosas como las mencionadas...
Saludos y sigue asi
PD:Edita lo que te sugeri

[S. E. Puelma Moy...]

Las dos soluciones están buenas, ahora sí (se ha editado la solución del problema 2)

Como comentarios, el problema 1 fue un regalito de mi parte, y por el bien del autor, no diré a quién se le ocurrió copiar un problema de olimpiada nacional, como problema 2

[Cesarator]

...
Debemos saber que los triángulos que describa la bola al chocar con los lados de la mesa no necesariamente son iguales en base, pues uno nunca sabe con exactitud cuál será el rumbo que desee tomar la bolita =P...así que no hay que dejarse llevar mucho por el dibujo.

Sólo para mencionar que exite una ley "Física" que yo llamo "ley del rebote" y que puedo resumir de la siguiente manera:


"Supongamos que la bola de billar parte de un punto A en el borde inferior y quiero hacerla rebotar en un punto X en la banda superior de manera que luego llegue a un punto B, nuevamente en el borde inferior. Entonces, el punto X deber ser tal que la suma de las distancias AX y XB sea Minima"

Esto es válido asumiendo que la bola no tiene efecto, obviamente.

Así, en la situación del problema de la prueba, la distancia recorrida por la bola deber ser MINIMA, para llegar de un vértice de la mesa al otro con los 7 rebotes prescritos. El uso de esa ley lleva a un problema interesante, y es determinar si hay alguna relación de semejanza o congruencia entre los triángulos que aparecen. Que efectivamente hay una .

Obviamente, no se podía usar la ley del rebote para resolver el problema