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Algunas desigualdades Utiles...

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2005, 02:20 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Veamos... 1) Si $TEX: $a,b\in\mathbb{R}$$ , demostrar que: $TEX: $a^2 + ab + b^2\ge 0$$ Demostracion: Notemos que $TEX: $\displaystyle a^2+ab+b^2=\frac{1}{2}( a^2+(a+b)^2+b^2)$$ Luego como $TEX: $a^2\ge 0$$ , $TEX: $(a+b)^2\ge 0$$ y $TEX: $b^2\ge 0$$ y $TEX: $\displaystyle\frac{1}{2}>0$$ , la conclusion es directa... Proximamente una nueva desigualdad... -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Andres Pontt	May 15 2005, 02:21 AM Publicado: #2
Invitado	CITA(Kenshin @ May 15 2005, 04:20 AM) Veamos... 1) Si $TEX: $a,b\in\mathbb{R}$$ , demostrar que: $TEX: $a^2 + ab + b^2\ge 0$$ Demostracion: Notemos que $TEX: $\displaystyle a^2+ab+b^2=\frac{1}{2}( a^2+(a+b)^2+b^2)$$ Luego como $TEX: $a^2\ge 0$$ , $TEX: $(a+b)^2\ge 0$$ y $TEX: $b^2\ge 0$$ y $TEX: $\displaystyle\frac{1}{2}>0$$ , la conclusion es directa... Proximamente una nueva desigualdad... Aqui esta mi dificultad con las demostraciones. Mi analisis es el siguiente. $TEX: $a^2$$ siempre sera $TEX: $\ge 0$$ y $TEX: $b^2\ge 0$$ y $TEX: $ab$$ puede ser negativo o positivo, pero siempre su producto sera menor a la suma de $TEX: $a^2$$ y $TEX: $b^2$$ solo me falta que se vea mas dificil para q parezca demostracion

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2005, 02:22 AM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Veamos otro ejemplo: 2)Si $TEX: $a,b\in\mathbb{R}$$ y $TEX: $a\not=b$$ , pruebe que: $TEX: $a^4+b^4>(a^3)b+a(b^3)$$ Nota:En su guia ademas les dan el dato de que $TEX: $a,b\in\mathbb{R}^+$$ ...lo cual probaremos que no influye en la demostracion de ahora,o sea que la desigualdad tambien se cumple cuando $TEX: $a,b$$ son negativos...o uno es positivo y el otro negativo...etc Demostracion: Bueno...primero analicemos el signo de: $TEX: $\mathcal{A}=a^4+b^4-(a^3b+ab^3)$$ Deberiamos probar que $TEX: $\mathcal{A}$$ es positivo y eso nos permitiria concluir la desigualdad. La tecnica es saber factorizar: $TEX: $\mathcal{A}=a^4+b^4-(a^3b+ab^3)=a^4+b^4-a^3b-ab^3$$ $TEX: $=(a^4-a^3b)-(a^3b-b^4)=a^3(a-b)-b^3(a-b)$$ $TEX: $=(a^3-b^3)(a-b)=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a-b)$$ $TEX: $=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)$$ Pero $TEX: $(a-b)^2\ge 0$$ y $TEX: $a^2+ab+b^2\ge 0$$ por lo que vimos antes(por la desigualdad posteada mas arribita) Luego $TEX: $\mathcal{A}\ge 0$$ Falta probar que $TEX: $\mathcal{A}\not=0$$ Para probar eso basta ver en que casos $TEX: $\mathcal{A}=0$$ , y llegar a que esos casos contradicen los datos del enunciado $TEX: $\mathcal{A}=0\Rightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2)=0$$ $TEX: $\Rightarrow (a-b)^2=0$$ o bien $TEX: $a^2+ab+b^2=0$$ La primera opcion nos lleva a que $TEX: $a=b$$ lo cual no se puede por enunciado(dice que $TEX: $a\not=b$$ ) La segunda opcion nos dice que $TEX: $a^2+ab+b^2=0$$ Pero por lo que vimos en el post mas arriba: $TEX: $\displaystyle a^2+ab+b^2=\frac{1}{2}( a^2+(a+b)^2+b^2)$$ Luego $TEX: $\displaystyle\frac{1}{2}(a^2+(a+b)^2+b^2)=0$$ $TEX: $\Rightarrow a^2+(a+b)^2+b^2=0$$ luego como las cantidades que se suman son todas $TEX: $\ge 0$$ ,la unica forma de que las tres sumadas den 0, es que cada una por si sola sea 0 O sea que $TEX: $a^2=0$$ , $TEX: $(a+b)^2=0$$ y $TEX: $b^2=0$$ Esto nos lleva a que $TEX: $a=b=0$$ lo cual contradice el enunciado pues $TEX: $a\not=b$$ Por lo tanto tenemos que $TEX: $\mathcal{A}>0$$ Luego: $TEX: $a^4+b^4-(a^3b+ab^3)>0$$ [ / $TEX: $+(a^3b+ab^3)$$ ] $TEX: $a^4+b^4>a^3b+ab^3$$ Asi se demuestra la desigualdad propuesta. Bueno...como ven no es tan dificil pero igual tienen que practicar..ojala les sirva la explicacion..cualquier duda sigan posteando...buena suerte ^.^ David -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2005, 02:22 AM Publicado: #4
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Una nueva desigualdad: 3)Probar que si a,b,c son positivos y distintos entre si,entonces se cumple que: $TEX: $2(a^3 + b^3 + c^3)>bc(b+c) + ca(c+a)+ ab(a+b)$$ Demostracion: Probaremos primero una desigualdad que nos ayudara a demostrar la desigualdad de arriba. Probemos primero que: $TEX: $x^3 + y^3 > xy(x+y)$$ cuando x,y positivos y disntintos entre si. Sea $TEX: $\mathcal{A}= x^3 + y^3 - xy(x+y)$$ Demostremos que $TEX: $\mathcal{A}$$ es positivo por lo cual nuevamente la clave es factorizar bien $TEX: $\mathcal{A}=x^3 + y^3 - xy(x+y)= x^3 + y^3 - (x^2)y - x(y^2)$$ $TEX: $= x^3 - (x^2)y - (x(y^2) - y^3)= x^2(x-y) - y^2(x-y)$$ $TEX: $=(x^2 - y^2)(x-y)= (x+y)(x-y)(x-y)=(x+y)(x-y)^2$$ Luego como $TEX: $(x-y)^2 >0$$ (pues como $TEX: $x\not=y$$ , entonces $TEX: $x-y\not=0$$ ) y $TEX: $x+y>0$$ (esto por que x,y son ambos positivos) Asi se concluye que $TEX: $\mathcal{A}>0$$ Ahora como la desigualdad con el x,y ya esta probada...en particular la usaremos con $TEX: $x=a$$ e $TEX: $y=b$$ (a y b son positivos y distintos entre si) Por lo tanto $TEX: $a^3 + b^3 >ab(a+b)$$ Tambien podemos analogamente usarla con las combinaciones de b con c, y de c con a lo cual nos entrega las siguientes dos desigualdades: $TEX: $b^3 + c^3 >bc(b+c)$$ (recordar que b y c son positivos y distintos entre si) $TEX: $c^3 + a^3 >ca(c+a)$$ (recordar que c y a son positivos y distintos entre si) Luego sumando las desigualdades se tiene que: $TEX: $(a^3 +b^3)+(b^3 + c^3)+(c^3 + a^3)> ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)$$ O sea que: $TEX: $2a^3 + 2b^3 + 2c^3 >ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)$$ Finalmente $TEX: $2(a^3 + b^3 + c^3)>ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)$$ Yap...ahi ta..listoko... Buena suerte y saludos como siempre David -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

cristianyireh Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 27 2008, 01:53 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 216 Registrado: 6-August 07 Desde: concepcion Miembro Nº: 8.270 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Andres Pontt @ May 15 2005, 12:21 AM) Aqui esta mi dificultad con las demostraciones. Mi analisis es el siguiente. siempre sera y y puede ser negativo o positivo, pero siempre su producto sera menor a la suma de y solo me falta que se vea mas dificil para q parezca demostracion $TEX: <br />espero que te ayude esto un poco \\<br />fijate que en el caso de que $ab<0$ se tiene que \\<br />$a^2+ab+b^2=(a+b)^2 -ab$ si te fijas bien $=(a+b)^2>0$ y $-ab>0$ lo que implica \\<br />que $a^2+ab+b^2>0$<br />$ -------------------- nada se compara al placer matematico aunque esquivo vale la pena buscarlo

stacey Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 23 2011, 10:26 PM Publicado: #6
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 21-August 09 Desde: Chiriquí Miembro Nº: 57.372 Nacionalidad: Sexo:	Hola ¿Qué pasa cuando tengo una desigualdad como esta -x^2+6x-9>0?

kkcoro3 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 23 2011, 10:40 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 354 Registrado: 2-April 11 Desde: Temuco Miembro Nº: 86.120 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Salu2. Por comodidad, multiplicas la expresión por (-1) (OJO que hay que cambiar la desigualdad) para dejar el coeficiente cuadrático positivo, luego tratas de factorizar dicha expresión, para encontrar tus puntos críticos para luego analizar los intervalos en base a esos puntos para elegir los intervalos que cumplen con las desigualdad.$ $TEX: Cuidado que eso no es una demostración es una inecuacón. Salu2.$ -------------------- $TEX: Suerte y Éxito. Nos vemos.$

stacey Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 23 2011, 10:46 PM Publicado: #8
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 21-August 09 Desde: Chiriquí Miembro Nº: 57.372 Nacionalidad: Sexo:	El libro me da como respuesta el conjunto vacío.

gamby Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 23 2011, 10:48 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.847 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.760 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(stacey @ Jul 23 2011, 11:46 PM) El libro me da como respuesta el conjunto vacío. Factoriza ese polinomio

stacey Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 23 2011, 10:57 PM Publicado: #10
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 21-August 09 Desde: Chiriquí Miembro Nº: 57.372 Nacionalidad: Sexo:	-x^2+6x-9>0 x^2-6x+9<0 al multiplicar por -1 (x-3)^2<0

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