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> VoF, Juego Matemático
Jorgeston
mensaje Aug 19 2009, 07:36 PM
Publicado: #51


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Mensaje modificado por Jorgeston el Aug 19 2009, 11:12 PM
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coquitao
mensaje Aug 19 2009, 07:41 PM
Publicado: #52


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Importante: el grupo G puede ser conmutativo o no...


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Pasten
mensaje Aug 20 2009, 10:07 AM
Publicado: #53


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CITA(coquitao @ Aug 19 2009, 08:16 PM) *
Sean a y b dos elementos de orden finito en un grupo G. Se cumple entonces que el orden de ab es siempre finito. ¿Cierto o falso?


TEX: <br />Obviamente es falso, basta considerar el producto libre $\mathbb{Z}_2*\mathbb{Z}_2$ con generadores $a,b$ entonces $a^2=e,b^2=e$ pero $ab$ genera un subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}$. De hecho esto se usa para probar que este grupo es isomorfo a un producto semidirecto de $\mathbb{Z}$ con $\mathbb{Z}_2$.<br />

Como se que esta bueno, propongo el siguiente:

TEX: <br />Para cualquier dominio entero $A$, el anillo $A[X]$ no es completo con la metrica inducida por el orden en $0$.<br />

Saludos

Mensaje modificado por Pasten el Aug 20 2009, 11:01 AM


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coquitao
mensaje Aug 21 2009, 08:52 PM
Publicado: #54


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1) Efectivamente, tu respuesta es correcta estimado Pasten. Lo único que vale la pena agregar al respecto es que no es necesario recurrir a la noción de producto libre de grupos para poder presentar un contraejemplo a la afirmación mía. ¿Alguien se anima a dar dicho contraejemplo elemental? wink.gif

2) ¿A qué te refieres con métrica inducida por el orden en 0? ¿Podrías aclarar un poco esa parte de tu propuesta, man?


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Pasten
mensaje Aug 21 2009, 09:37 PM
Publicado: #55


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CITA(coquitao @ Aug 21 2009, 09:52 PM) *
1) Efectivamente, tu respuesta es correcta estimado Pasten. Lo único que vale la pena agregar al respecto es que no es necesario recurrir a la noción de producto libre de grupos para poder presentar un contraejemplo a la afirmación mía. ¿Alguien se anima a dar dicho contraejemplo elemental? wink.gif

2) ¿A qué te refieres con métrica inducida por el orden en 0? ¿Podrías aclarar un poco esa parte de tu propuesta, man?


El orden en 0 es una valuacion. La exponencial de 'menos' una valuacion es un valor absoluto. Un valor absoluto sobre un anillo induce una metrica en la forma d(x,y)=|x-y|. Eso.

Saludos

Edicion-----------

Kamelot me informa por interno que puede ser que no todos sepan que es el orden en 0 de un polinomio P. Como no se me habia pasado semejante idea por la cabeza, hago la aclaracion ahora: Es el menor n tal que TEX: $X^n$ tiene un coeficiente no nulo en P, con el convenio que el polinomio nulo tiene orden infinito. Es como en analisis.

Saludos

Mensaje modificado por Pasten el Aug 21 2009, 09:43 PM


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Pasten
mensaje Aug 25 2009, 03:57 AM
Publicado: #56


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Apuren la carreta po' zceja.png.gif

Ayuda: Como siempre, lo que Pasten dijo es completamente cierto.

Saludos


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Pasten
mensaje Aug 29 2009, 09:27 PM
Publicado: #57


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CITA(Pasten @ Aug 25 2009, 04:57 AM) *
Apuren la carreta po' zceja.png.gif

Ayuda: Como siempre, lo que Pasten dijo es completamente cierto.

Saludos


Parece que el tema se esta yendo a pique, asi que respondo y cambio la pregunta.

TEX: <br />Cierto. La sucesion dada por $f_n=1+X+X^2+\cdots+X^n$ es da Cauchy pero converge a una serie formal, no un polinomio.<br />

Nueva afirmacion:

TEX: <br />$(\mathbb{R},+)$ es un grupo libre.<br />


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coquitao
mensaje Aug 31 2009, 09:13 PM
Publicado: #58


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Falso.

Si TEX: $(\mathbb{R},+)$ fuera libre su rango tendría que ser mayor que 1. No obstante, el subgrupo derivado de un libre de rango mayor a 1 debe ser de rango infinito. Contradicción.


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Pasten
mensaje Sep 1 2009, 09:54 AM
Publicado: #59


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CITA(coquitao @ Aug 31 2009, 10:13 PM) *
Falso.

Si TEX: $(\mathbb{R},+)$ fuera libre su rango tendría que ser mayor que 1.


Perfecto, porque si su rango es 1 seria numerable. (*)

CITA(coquitao @ Aug 31 2009, 10:13 PM) *
No obstante, el subgrupo derivado de un libre de rango mayor a 1 debe ser de rango infinito.


Esto es porque el abelianizado de un libre es el libre abeliano sobre el conjunto de generadores.
Ahora, como el derivado del grupo dado es trivial (el grupo ya era abeliano) esto nos lleva a:

CITA(coquitao @ Aug 31 2009, 10:13 PM) *
Contradicción.


Desde (*) yo habria concluido asi: Por otro lado, el grupo dado es abeliano asi que no puede ser libre con rango mayor que 1. Contradiccion.

Saludos (propone el siguiente)


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coquitao
mensaje Sep 1 2009, 03:23 PM
Publicado: #60


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De acuerdo, Pasten. Mi propuesta es:

Existen números perfectos pares en la sucesión de Fibonacci. ¿Cierto o falso?


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