Tercer Nivel - Segunda Fecha CMAT Media

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Tercer Nivel - Segunda Fecha CMAT Media

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 30 2009, 11:18 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	VII Campeonato Escolar de Matemática Segunda Fecha - 30 de Mayo de 2009 Tercer Nivel $TEX: <br />\noindent\textbf{Problema 1}\\<br />En un triángulo rectángulo isósceles, de cateto igual a $22$, colocamos 2009 puntos. Muestre que existen al menos dos puntos a distancia menor o igual que $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$\\<br />\\<br />\textbf{Problema 2}\\<br />Sea $b\in\mathbb{R}$, $b\not=0$. Definamos la sucesión $(a_n)$ por:\\ <br />$$a_n=\begin{cases}<br />\dfrac{b+1}{a_{n-1}}-1 & \text{si $n$ es impar, $n\in\mathbb{N}$}\\<br />\\<br />\dfrac{b+1}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{b} & \text{si $n$ es par, $n\in\mathbb{N}$}<br />\end{cases}<br />$$<br />donde $a_0=1$. Para $n\in\mathbb{N}$ se define $f(n)$ como:<br />$$f(n)=\dfrac{a_{2n-1}-a_{2n}}{a_n}$$<br />a) Determine los valores de $a_n$, $\forall\, n=1,2,...$\\<br />b) Cacule los valores de $f(n)$ para cada $n\in \mathbb{N}$<br />$ Sedes Arica, Iquique, Antofagasta, Valparaiso, Santiago, Talagante-Melipilla y Rancagua -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

fabiannx15 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 31 2009, 07:59 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.169 Registrado: 11-June 08 Desde: rancagua Miembro Nº: 26.922 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	jjasjaj en esta me fue pesimo, no andaba muy creativo para responder -------------------- Richard Fabian Jerez Ex alumno del Liceo Oscar Castro 4ºL matemático Estudiante Ingeniería Civil Mecánica USM ¿Necesitas ayuda para la psu y no tienes dinero?: Agrega a logratus850@hotmail.com y comienza a preguntar! Somos un grupo de universitarios dispuestos a ayudarte de manera gratuita para que logres tus sueños, todos tuvimos como promedio más de 800 puntos en la PSU. Team PSU 2010!! Únete! [color="#000080"][/color]

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 31 2009, 10:48 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 1: Para explicar mejor mi procedimiento, ocupera geometria analitica. Sean $TEX: $A=(22,0), B=(0,22); C=(0,0)$$ . Consideremos las rectas $TEX: $x=k/2, y=k/2, y=-x+k/2$$ , para $TEX: $k=1,2,...,43$$ . Veamos que estas 3 familias de rectas son paralelas a $TEX: $BC,AC,AB$$ , respectivamente, y cortan al triangulo formando $TEX: $1+3+...+87=44^2=1936$$ triangulos semejantes al $TEX: $\triangle ABC$$ . Como son $TEX: $2009$$ puntos, por el principio del palomar, al menos uno de los triangulitos pequeños tendra al menos 2 puntos en su interior. Consideremos un triangulito con 2 puntos en su interior. Notemos que cada triangulito es rectangulo isosceles de cateto $TEX: $0,5$$ e hipotenusa $TEX: $0,5\sqrt {2}$$ , y como los 2 puntos estan al interior del triangulito, su maxima distancia posible es $TEX: $0,5\sqrt {2}$$ , demostrando lo pedido $TEX: $\blacksquare$$ Problema 2: a) Demostraremos mediante induccion que $TEX: $a_{n}=1$$ si $TEX: $n\equiv 0\pmod2$$ y $TEX: $a_{n}=b$$ si $TEX: $n\equiv 1\pmod2$$ . Veamos que $TEX: $a_{0}=1$$ y $TEX: $a_{1}=b$$ . Supongamos que existe cierto $TEX: $m$$ natural tal que $TEX: $a_{2m-1}=b$$ . Entonces $TEX: $a_{2m}=1$$ y $TEX: $a_{2m+1}=b$$ , demostrando que $TEX: $a_{n}=b$$ para $TEX: $n\equiv 1\pmod 2$$ . La demostracion de que $TEX: $a_{n}=1$$ para $TEX: $n\equiv 0\pmod 2$$ es completamente analoga. b) Como $TEX: $a_{2n-1}=b$$ y $TEX: $a_{2n}=1$$ , obtenemos que $TEX: $f(n)=(b-1)/a_{n}$$ . Por lo tanto $TEX: $f(n)=b-1$$ si $TEX: $n\equiv 0\pmod2$$ y $TEX: $f(n)=(b-1)/b$$ si $TEX: $n\equiv 1\pmod2$$ $TEX: $\blacksquare$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 1 2009, 03:21 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Correctas las dos soluciones de Kain #13. Con respecto al problema 1, también es posible cubrir el triángulo rectángulo isósceles inicial con 1+2+3+...+44=990 cuadrados de lado 1/2. Nuevamente el problema acaba usando principio del palomar (porque la mayor distancia posible entre dos puntos en el borde o interior de un cuadrado es igual a la longitud de la diagonal). Sólo comparto esta solución para contarles que este problema puede ser "mejorado" en algún sentido. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

bastianrv Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 2 2009, 11:47 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 12-May 09 Miembro Nº: 50.997 Colegio/Liceo: Sexo:	con respecto a lo que dijo kain estoy de acuerdo absolutamente aunque habia una solucion mas corta para demostrar el ejercicio que era tomando valores imaginarios dentro de rectas auxiliares que forman los puntos. Lo escencial era demostrar que gracias a la hipotenusa llegariamos a la solucion del ejercicio.

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