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Segundo Nivel - Segunda Fecha CMAT Media

DoomH~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 30 2009, 10:53 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.429 Registrado: 6-October 07 Miembro Nº: 10.987	VII Campeonato Escolar de Matemática Segunda Fecha - 30 de Mayo de 2009 Segundo Nivel Problema 1 Un cuadrado, circunscrito a una circunferencia de radio $TEX: \[<br />r<br />\]$ , se hace rotar sobre su centro de gravedad en 45º generando la siguiente figura: Dibujo.PNG ( 4.99k ) Número de descargas: 6 Calcule el área pintada. Problema 2 Dada la siguiente relacion $TEX: \[<br />\frac{{13ab^2 }}<br />{{4c^2 }} = \frac{{a\left( {b^2 - a^2 } \right)}}<br />{{b^3 - c^2 }} = \frac{b}<br />{a}<br />\]$ Con $TEX: \[<br />a,b,c > 0<br />\]$ y $TEX: \[<br />a > b<br />\]$ ¿Cual es el valor de $TEX: \[<br />\frac{b}<br />{a}<br />\]$ ? Salu2 -------------------- CHAO.

oxieD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2009, 11:52 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 513 Registrado: 10-March 09 Desde: Valparaíso Miembro Nº: 44.543 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	01.PNG ( 5.42k ) Número de descargas: 0 $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaqGeb<br />% GaaeyzaiaabccacaqGSbGaaeyyaiaabccacaqGPbGaaeyBaiaabgga<br />% caqGNbGaaeyzaiaab6gacaqGGaGaaeiCaiaab+gacaqGKbGaaeyzai<br />% aab2gacaqGVbGaae4CaiaabccacaqGKbGaaeyzaiaabsgacaqG1bGa<br />% ae4yaiaabMgacaqGYbGaaeiiaiaabghacaqG1bGaaeyzaiaabccaca<br />% qGSbGaae4BaiaabohacaqGGaGaae4yaiaabwhacaqGHbGaaeizaiaa<br />% bkhacaqGHbGaaeizaiaab+gacaqGZbGaaeiiaiaabshacaqGPbGaae<br />% yzaiaab6gacaqGLbGaaeOBaiaabccacaqGKbGaaeyzaiaabccacaqG<br />% SbGaaeyyaiaabsgacaqGVbGaaeiiaiaaikdacaWGYbGaaiilaiaabc<br />% cacaqG5bGaaeiiaiaabwgacaqGSbGaaeiiaiaab+gacaqGJbGaaeiD<br />% aiaabgoacaqGNbGaae4Baiaab6gacaqGVbGaaeiiaiaabshacaqGPb<br />% Gaaeyzaiaab6gacaqGLbGaaeiiaiaabYgacaqGHbGaaeizaiaab+ga<br />% caqGGaWaaSaaaeaacaaIYaGaamOCaaqaaiaaiodaaaaabaaabaGaae<br />% 4uaiaabggacaqGIbGaaeyzaiaab2gacaqGVbGaae4CaiaabccacaqG<br />% XbGaaeyDaiaabwgacaqGGaGaaeyzaiaabYgacaqGGaGaaey4aiaabk<br />% hacaqGLbGaaeyyaiaabccacaqGWbGaaeyzaiaabsgacaqGPbGaaeiz<br />% aiaabggacaqGGaGaaeyzaiaabohacaqGGaGaaeyzaiaabYgacaqGGa<br />% Gaaey4aiaabkhacaqGLbGaaeyyaiaabccacaqGKbGaaeyzaiaabYga<br />% caqGGaGaae4BaiaabogacaqG0bGaaey4aiaabEgacaqGVbGaaeOBai<br />% aab+gacaqGSaGaaeiiaiaab2gacaqGLbGaaeOBaiaab+gacaqGZbGa<br />% aeiiaiaabwgacaqGSbGaaeiiaiaabgoacaqGYbGaaeyzaiaabggaca<br />% qGGaGaaeizaiaabwgacaqGGaGaaeiBaiaabggacaqGGaGaae4yaiaa<br />% bMgacaqGYbGaae4yaiaabwhacaqGUbGaaeOzaiaabwgacaqGYbGaae<br />% yzaiaab6gacaqGJbGaaeyAaiaabggacaqGSaGaaeiiaiaabMhacaqG<br />% GaGaae4yaiaab+gacaqGTbGaae4BaiaabccaaeaacaqG5bGaaeyyai<br />% aabccacaqG0bGaaeyzaiaab6gacaqGLbGaaeyBaiaab+gacaqGZbGa<br />% aeiiaiaabwgacaqGSbGaaeiiaiaabYgacaqGHbGaaeizaiaab+gaca<br />% qGGaGaaeizaiaabwgacaqGSbGaaeiiaiaab+gacaqGJbGaaeiDaiaa<br />% bgoacaqGNbGaae4Baiaab6gacaqGVbGaaeiiaiaabMhacaqGGaGaae<br />% yzaiaabYgacaqGGaGaaeOCaiaabggacaqGKbGaaeyAaiaab+gacaqG<br />% GaGaaeizaiaabwgacaqGGaGaaeiBaiaabggacaqGGaGaae4yaiaabM<br />% gacaqGYbGaae4yaiaabwhacaqGUbGaaeOzaiaabwgacaqGYbGaaeyz<br />% aiaab6gacaqGJbGaaeyAaiaabggacaqGGaGaae4CaiaabwgacaqGGa<br />% GaaeiAaiaabggacaqGJbGaaeyzaiaabccacaqGMbGaaey4aiaaboga<br />% caqGPbGaaeiBaiaabccacaqGLbGaaeiBaiaabccacaqGJbGaaey4ai<br />% aabYgacaqGJbGaaeyDaiaabYgacaqGVbaabaaabaWaauIhaeaacaaI<br />% YaWaaeWaaeaadaWcaaqaaiaaikdacaWGYbaabaGaaG4maaaaaiaawI<br />% cacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGcdaqadaqaaiaaigdacqGH<br />% RaWkdaGcaaqaaiaaikdaaSqabaaakiaawIcacaGLPaaacqGHsislcq<br />% aHapaCcaWGYbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaaaaaa!3884!<br />\[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{De la imagen podemos deducir que los cuadrados tienen de lado }}2r,{\text{ y el oct\'agono tiene lado }}\frac{{2r}}<br />{3} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Sabemos que el \'area pedida es el \'area del oct\'agono}}{\text{, menos el \'area de la circunferencia}}{\text{, y como }} \hfill \\<br /> {\text{ya tenemos el lado del oct\'agono y el radio de la circunferencia se hace f\'acil el c\'alculo}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \boxed{2\left( {\frac{{2r}}<br />{3}} \right)^2 \left( {1 + \sqrt 2 } \right) - \pi r^2 } \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ -------------------- Todos los facsímiles Oficiales del Demre 2003-2008 ¿Quieres preparar la Psu de Ciencias, historia y lenguaje también?... Ingresa a Registrate!

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 4 2009, 11:16 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	por que asumes que el lado del octagono es 2r/3?? -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 4 2009, 11:46 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	post_44543_1254631948.png ( 5.84k ) Número de descargas: 4 Es facil probar que el octagono es regular, usando el hecho de que el caudrado se inclina 45°, luego (mire la figura), el lado del cuadrado es $TEX: $a(2+ \sqrt{2})=2r \implies a\sqrt{2}=\sqrt{2} \frac{2r}{2+\sqrt{2}}$$ , que es igual al lado del octágono. Luego su área es: $TEX: $2(2\sqrt{2}r-2r)^2(1+\sqrt{2})-\pi r^2$$ . Aunque se pude simplificar todavía. Mensaje modificado por makmat el Oct 4 2009, 12:00 PM -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 4 2009, 11:51 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Lograste calcular bien el lado del octágono (todavía puedes simplificar esa expresión para $TEX: $a\sqrt2$$ ), pero en el problema se pide calcular el área de la figura pintada. Esperamos que completes la solución. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

oxieD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 4 2009, 01:37 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 513 Registrado: 10-March 09 Desde: Valparaíso Miembro Nº: 44.543 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Hamon @ Oct 4 2009, 01:16 PM) por que asumes que el lado del octagono es 2r/3?? Porque mi ojo está fallando XD -------------------- Todos los facsímiles Oficiales del Demre 2003-2008 ¿Quieres preparar la Psu de Ciencias, historia y lenguaje también?... Ingresa a Registrate!

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 4 2009, 05:08 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Este post lo habia hecho el año del cuete, pero para ordenar el panorama, la coloco aqui:A peticion de un usuario: Sea $TEX: $b/a=\delta$$ . Veamos que: $TEX: $ \displaystyle \frac{13ab^2}{4c^2}=\displaystyle \frac{4ab^2-4a^3}{4b^3-4c^2}=\delta$$ Se sigue que $TEX: $13ab^2=4c^2\cdot \delta$$ (1) y $TEX: $4ab^2-4a^3=(4b^3-4c^2)\cdot \delta$$ (2). Sumando (1) y (2), se sigue que $TEX: $17ab^2-4a^3=4b^3\cdot \delta $$ , o equivalentemente: $TEX: $\displaystyle \frac{17ab^2-4a^3}{4b^3}=\displaystyle \frac{b}{a}\to \displaystyle \frac{17b^2-4a^2}{a^2}=\displaystyle \frac{4b^4}{a^4}$$ Recordando que $TEX: $\delta=b/a$$ , obtenemos la ecuacion de 4º grado $TEX: $4\delta^4-17\delta^2+4=0$$ , que se factoriza como: $TEX: $(\delta-2)(\delta+2)(2\delta-1)(2\delta+1)=0$$ Recordando que $TEX: $0<b/a=\delta<1$$ , obtenemos finalmente que $TEX: $\delta=1/2$$ $TEX: $\blacksquare$$ Los detalles los dejo a manos del atento lector. Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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