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> Encuentre x, y, z
Chaparrón
mensaje May 28 2009, 07:51 PM
Publicado: #1


Doctor en Matemáticas
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Encuentre todos las ternas de enteros positivos TEX: $(x,y,z)$ tal que:
TEX: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} - \dfrac{3}{z} = 1$
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Fran.tgx
mensaje Jul 8 2020, 04:25 PM
Publicado: #2


Principiante Matemático Destacado
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Espero que esté bien

TEX: <br /><br /><br />Si $y\geq 4$ y $x \geq 2$ entonces no hay solución pues en ese caso $ 1 \geq \dfrac{1}{x}+ \dfrac{2}{y}> \dfrac{1}{x}+ \dfrac{2}{y} - \dfrac{3}{z}$<br /><br />\vspace{0,3cm}<br /><br />En caso contrario digamos que $x=1$ entonces $2z=3y$ y por lo tanto infinitas soluciones , es decir toda terna de la forma $(1,2p,3p)$ donde $p$ es cualquier entero positivo, satisface la ecuación.<br /><br />\vspace{0,3cm}<br /><br />Si $y<4$ basta ver qué pasa en esos $3$ casos y entonces encontraremos todas las ternas.<br /><br />\vspace{0,3cm}<br /><br />El primer caso es si $y=1$, entonces $\dfrac{3}{z}- \dfrac{1}{x}=1$ donde es fácil notar que $z \neq 3$ por lo tanto $x=\dfrac{z}{3-z}$ teniendo como única solución la terna $(2,1,2)$<br /><br />\vspace{0,3cm}<br /><br /> El segundo caso es si $y=2$ obtenemos que $z=3x$, tambien tenemos infinitas ternas de la forma $(x,2,3x),\ \forall x \in \mathbb{N}$, en particular si $x=1$ es la misma terna de las anteriores con $p=1$.<br /><br />\vspace{0,3cm}<br /><br />Ahora como último caso si $y=3$ entonces $ \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{z}>\dfrac{1}{3}$ donde $3>x$, donde si $x=2 \Rightarrow z=18$ y si $x=1 \Rightarrow z= \dfrac{9}{2}$, en esta ultima $z$ no es natural.<br /><br />\vspace{0,3cm}<br /><br />Finalmente tenemos las ternas $(2,3,18),\ (2,1,2)$ y las que son de la forma $(x,2,3x)$ y $(1,2p,3p)$ para todo $x$ y $p$ que están en los naturales.<br /><br /><br />

Mensaje modificado por Fran.tgx el Jul 8 2020, 04:31 PM
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